Vida media ponderada

En finanzas , la vida media ponderada (VMP) de un préstamo amortizable o un bono amortizable, también llamada vida media , ^{[1] [2] [3]} es el promedio ponderado de los tiempos de los reembolsos de capital : es el tiempo promedio hasta que se paga un dólar de capital.

En una fórmula, ^[4]

${\displaystyle {\text{WAL}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i},}$

dónde:

• ${\displaystyle P}$es el principal (total),
• ${\displaystyle P_{i}}$es el reembolso del capital que se incluye en el pago , por lo tanto ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\frac {P_{i}}{P}}}$es la fracción del capital total que se incluye en el pago , y ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo (en años) desde la fecha de cálculo hasta el pago . ${\displaystyle i}$

Si se desea, se puede ampliar como para un bono mensual, donde es la fracción de mes entre la fecha de liquidación y la fecha del primer flujo de efectivo. ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{12}}(i+\alpha -1)}$ ${\displaystyle \alpha }$

WAL de clases de préstamos

En los préstamos que permiten el pago anticipado , el WAL no se puede calcular a partir del cronograma de amortización únicamente; también se deben hacer suposiciones sobre el comportamiento de prepago y mora, y el WAL cotizado será una estimación. El WAL generalmente se calcula a partir de una única secuencia de flujo de efectivo. Ocasionalmente, se puede calcular una vida promedio simulada a partir de múltiples escenarios de flujo de efectivo, como los de un modelo de diferencial ajustado por opciones . ^[5]

Conceptos relacionados

WAL no debe confundirse con los siguientes conceptos distintos:

Duración del bono

La duración del bono es el tiempo promedio ponderado para recibir los valores actuales descontados de todos los flujos de efectivo (incluidos tanto el capital como los intereses), mientras que el tiempo promedio ponderado para recibir simplemente los pagos del capital (sin incluir los intereses y sin descontar). Para un préstamo amortizable con pagos iguales, el tiempo promedio ponderado para recibir los pagos del capital es mayor que la duración, ya que los pagos iniciales se ponderan en función de los intereses, mientras que los pagos posteriores se ponderan en función del capital y, además, al tomar el valor actual (en la duración) se descuentan los pagos posteriores.

Tiempo hasta que se haya pagado el 50% del capital

El WAL es una media , mientras que "el 50 % del capital reembolsado" es una mediana ; consulte la diferencia entre media y mediana . Dado que el capital pendiente es una función cóncava (del tiempo) para un préstamo con amortización de pago fijo, menos de la mitad del capital se habrá pagado en el WAL. Intuitivamente, esto se debe a que la mayor parte del reembolso del capital se produce al final. Formalmente, la distribución de los reembolsos tiene una asimetría negativa : los pequeños reembolsos de capital al principio reducen el WAL (media) más de lo que reducen la mediana.

Vencimiento promedio ponderado (WAM)

WAM es un promedio de las fechas de vencimiento de múltiples préstamos, no un promedio de los reembolsos de capital.

Aplicaciones

El WAL es una medida que puede resultar útil en el análisis de riesgo crediticio de los títulos de renta fija, teniendo en cuenta que el principal riesgo crediticio de un préstamo es el riesgo de pérdida de capital. En igualdad de condiciones, un bono con un capital pendiente más largo (es decir, un WAL más largo) tiene un mayor riesgo crediticio que un bono con un WAL más corto. En particular, el WAL se utiliza a menudo como base para las comparaciones de rendimiento en los cálculos del I-spread .

No se debe utilizar el WAL para estimar la sensibilidad del precio de un bono a las fluctuaciones de las tasas de interés, ya que el WAL incluye solo los flujos de efectivo del principal y omite los pagos de intereses. En cambio, se debe utilizar la duración del bono , que incorpora todos los flujos de efectivo.

Ejemplos

El WAL de un préstamo bullet (no amortizable) es exactamente el plazo, ya que el capital se reembolsa precisamente al vencimiento.

En un préstamo amortizable a 30 años, pagando montos iguales mensualmente, uno tiene los siguientes WAL, para las tasas de interés anuales dadas (y los pagos mensuales correspondientes por cada $100,000 de saldo de capital, calculados a través de una calculadora de amortización y las fórmulas a continuación que relacionan los pagos amortizados, el interés total y el WAL):

Obsérvese que, a medida que aumenta la tasa de interés, el WAL aumenta, ya que los pagos de capital se concentran cada vez más en los últimos meses. El WAL es independiente del saldo de capital, aunque los pagos y el interés total son proporcionales al capital.

Para un cupón del 0%, donde el capital se amortiza de manera lineal, el WAL es exactamente la mitad del plazo más la mitad de un período de pago, porque el capital se paga en forma vencida (al final del período). Por lo tanto, para un préstamo al 0% a 30 años, con pagos mensuales, el WAL es de años. ${\displaystyle 15+1/24\approx 15.04}$

Interés total

WAL permite calcular fácilmente los pagos totales de intereses, dados por:

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r\times P,}$

donde r es la tasa de interés anual y P es el capital inicial.

Esto se puede entender intuitivamente como: "El dólar promedio de capital pendiente para el WAL, por lo tanto, el interés sobre el dólar promedio es , y ahora uno multiplica por el capital para obtener los pagos de intereses totales". ${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

Prueba

Más rigurosamente, se puede derivar el resultado de la siguiente manera. Para facilitar la exposición, supongamos que los pagos son mensuales, por lo que la tasa de interés periódica es la tasa de interés anual dividida por 12 y el tiempo (el tiempo en años es el número de período en meses, dividido por 12). ${\displaystyle t_{i}=i/12}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{WAL}}&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i}\\{\text{WAL}}\times P&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}t_{i}&&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\frac {i}{12}}\\{\text{WAL}}\times P\times r&=\sum _{i=1}^{n}iP_{i}{\frac {r}{12}}&&={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}iP_{i}\end{aligned}}}$

El interés total es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{i}{\frac {r}{12}}={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}Q_{i},}$

donde es el capital pendiente al comienzo del período i (es el capital sobre el que se basa el pago de intereses i ). La afirmación se reduce a mostrar que . Ambas cantidades son el capital total ponderado en el tiempo del bono (en períodos), y son simplemente formas diferentes de dividirlo: la suma cuenta cuánto tiempo está pendiente cada dólar de capital (divide horizontalmente ), mientras que cuenta cuánto capital está pendiente en cada punto en el tiempo (divide verticalmente ). ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}iP_{i}=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}$ ${\displaystyle iP_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$

Trabajando hacia atrás , y así sucesivamente: el capital pendiente cuando quedan k períodos es exactamente la suma de los siguientes k pagos de capital. El capital pagado por el último ( n -ésimo) pago de capital está pendiente durante todos los n períodos, mientras que el capital pagado por el penúltimo (( n  -ésimo)) pago de capital está pendiente durante n  -1 períodos, y así sucesivamente. Usando esto, las sumas pueden reorganizarse para que sean iguales. ${\displaystyle Q_{n}=P_{n},Q_{n-1}=P_{n}+P_{n-1}}$

Por ejemplo, si el capital se amortiza en $100, $80, $50 (con pagos iniciales de $20, $30, $50), entonces la suma sería por un lado y por el otro . Esto se demuestra en la siguiente tabla, que muestra el cronograma de amortización, dividido en pagos de capital, donde cada columna es un , y cada fila es : ${\displaystyle 20+2\cdot 30+3\cdot 50=230}$ ${\displaystyle 100+80+50=230}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle iP_{i}}$

Cálculo del WAL a partir del pago amortizado

Lo anterior se puede revertir: dados los términos (capital, plazo, tasa) y el pago amortizado A , se puede calcular el WAL sin conocer el cronograma de amortización. Los pagos totales son y los pagos totales de intereses son , por lo que el WAL es: ${\displaystyle An}$ ${\displaystyle An-P}$

${\displaystyle {\text{WAL}}={\frac {An-P}{Pr}}}$

De manera similar, el interés total como porcentaje del capital viene dado por : ${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r={\frac {An-P}{P}}}$

Notas y referencias

1. Glosario de PIMCO
2. Glosario de Bloomberg
3. (Fabozzi 2000, págs. 588–589)
4. (Fabozzi 2000, págs. 616–617)
5. (Fabozzi 2000, pág. 805)

• Fabozzi, Frank J. (2000), Manual de valores de renta fija , ISBN 0-87094-985-3

Véase también

• Calculadora de amortización
• Cuadro de amortización
• Préstamo amortizable