Módulo serie

En álgebra abstracta , un módulo uniserial M es un módulo sobre un anillo R , cuyos submódulos están totalmente ordenados por inclusión . Esto significa simplemente que para dos submódulos cualesquiera N ₁ y N ₂ de M , cualquiera de los dos o . Un módulo se llama módulo serial si es una suma directa de módulos uniseriales. Un anillo R se llama anillo uniserial derecho si es uniserial como módulo derecho sobre sí mismo, y también se llama anillo serie derecho si es un módulo serie derecho sobre sí mismo. Los anillos uniserial izquierdo y serial izquierdo se definen de forma análoga y, en general, son distintos de sus homólogos derechos. ${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$ ${\displaystyle N_{2}\subseteq N_{1}}$

Un ejemplo sencillo y motivador es el anillo de cociente para cualquier número entero . Este anillo siempre es serial y es uniserial cuando n es una potencia primaria . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n>1}$

El término uniserial se ha utilizado de manera diferente a la definición anterior: para mayor aclaración, consulte a continuación.

Una lista alfabética parcial de contribuyentes importantes a la teoría de los anillos seriales incluye a los matemáticos Keizo Asano, IS Cohen, PM Cohn , Yu. Drozd, D. Eisenbud , A. Facchini, AW Goldie , Phillip Griffith, I. Kaplansky , VV Kirichenko, G. Köthe , H. Kuppisch, I. Murase, T. Nakayama , P. Příhoda, G. Puninski y R. Campo de guerra. Las referencias de cada autor se pueden encontrar en (Puninski 2001a) y (Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko 2004).

Siguiendo la convención teórica de anillo común, si se da una condición dependiente izquierda/derecha sin mencionar un lado (por ejemplo, uniserial, serial, artiniano , noetheriano ), entonces se supone que la condición se cumple tanto en la izquierda como en la derecha. A menos que se especifique lo contrario, cada anillo en este artículo es un anillo con unidad y cada módulo es unitario .

Propiedades de los anillos y módulos uniseriales y seriales.

Es inmediato que en un módulo R uniserial M , todos los submódulos excepto M y 0 son simultáneamente esenciales y superfluos . Si M tiene un submódulo máximo , entonces M es un módulo local. M también es claramente un módulo uniforme y, por tanto, es directamente indescomponible. También es fácil ver que cada submódulo de M generado finitamente puede ser generado por un solo elemento, por lo que M es un módulo de Bézout .

Se sabe que el anillo de endomorfismo End _R ( M ) es un anillo semilocal que está muy cerca de un anillo local en el sentido de que End _R ( M ) tiene como máximo dos ideales rectos máximos . Si se supone que M es artiniano o noetheriano, entonces End _R ( M ) es un anillo local.

Dado que los anillos con unidad siempre tienen un ideal máximo derecho, un anillo uniserial derecho es necesariamente local. Como se señaló anteriormente, un ideal derecho generado finitamente puede ser generado por un solo elemento, por lo que los anillos uniseriales derechos son anillos Bézout correctos . Un anillo serial derecho R necesariamente tiene en cuenta la forma en la que cada e _i es un elemento idempotente y e _i R es un módulo uniserial local. Esto indica que R también es un anillo semiperfecto , lo cual es una condición más fuerte que ser un anillo semilocal. ${\displaystyle R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R}$

Köthe demostró que los módulos de los anillos ideales principales de Artiniano (que son un caso especial de anillos en serie) son sumas directas de submódulos cíclicos . Posteriormente, Cohen y Kaplansky determinaron que un anillo conmutativo R tiene esta propiedad para sus módulos si y sólo si R es un anillo ideal principal artiniano. Nakayama demostró que los anillos en serie artinianos tienen esta propiedad en sus módulos y que lo contrario no es cierto.

El resultado más general, quizás, sobre los módulos de un anillo en serie se atribuye a Drozd y Warfield: afirma que cada módulo presentado finitamente en un anillo en serie es una suma directa de submódulos uniseriales cíclicos (y por tanto es serial). Si además se supone que el anillo es noetheriano, los módulos finitamente presentados y finitamente generados coinciden, por lo que todos los módulos finitamente generados son seriales.

Ser serial correcto se conserva bajo productos directos de anillos y módulos, y se conserva bajo cocientes de anillos . Se conserva el carácter uniserial para cocientes de anillos y módulos, pero nunca para productos. Una suma directa de un módulo serial no es necesariamente serial, como demostró Puninski, pero las sumas directas de sumas directas finitas de módulos uniseriales son módulos seriales (Příhoda 2004).

Se ha comprobado que la conjetura de Jacobson se cumple en los anillos seriales noetherianos. (Charlas y Hajarnavis 1980)

Ejemplos

Cualquier módulo simple es trivialmente uniserial y, de la misma manera, los módulos semisimples son módulos en serie.

Se pueden obtener muchos ejemplos de anillos en serie de las secciones de estructura anteriores. Cada anillo de valoración es un anillo uniserial, y todos los anillos ideales principales artinianos son anillos seriales, como lo ilustran los anillos semisimples .

Ejemplos más exóticos incluyen las matrices triangulares superiores sobre un anillo de división T _n ( D ), y el anillo de grupo para algún campo finito de característica prima p y grupo G que tiene un subgrupo p - Sylow normal cíclico . ${\displaystyle \mathbb {F} [G]}$

Estructura

Esta sección tratará principalmente de los anillos seriales noetherianos y su subclase, los anillos seriales artinianos. En general, los anillos se descomponen primero en anillos indescomponibles. Una vez conocida la estructura de estos anillos, los anillos descomponibles son productos directos de los indecomponibles. Además, para anillos semiperfectos, como los anillos en serie, el anillo básico es el equivalente de Morita al anillo original. Por lo tanto, si R es un anillo en serie con un anillo básico B y se conoce la estructura de B , la teoría de la equivalencia de Morita da que P es algún progenerador B finitamente generado . Es por eso que los resultados se expresan en términos de anillos básicos indescomponibles. ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} _{B}(P)}$

En 1975, Kirichenko y Warfield publicaron de forma independiente y simultánea análisis de la estructura de los anillos seriales noetherianos y no artinianos. Los resultados fueron los mismos sin embargo los métodos que utilizaron fueron muy diferentes entre sí. El estudio de los anillos primarios hereditarios , noetherianos , así como los carcaj definidos en anillos en serie fueron herramientas importantes. El resultado principal establece que un anillo serial noetheriano derecho, no artiniano, básico e indescomponible puede describirse como un tipo de anillo matricial sobre un dominio noetheriano uniserial V , cuyo radical de Jacobson J ( V ) es distinto de cero. Este anillo de matriz es un subanillo de M _n ( V ) para algún n , y consta de matrices con entradas de V en y por encima de la diagonal, y entradas de J ( V ) debajo.

La estructura del anillo en serie de Artinian se clasifica en casos según la estructura del carcaj. Resulta que la estructura del carcaj de un anillo en serie artiniano básico e indescomponible es siempre un círculo o una línea. En el caso del carcaj de líneas, el anillo es isomorfo a las matrices triangulares superiores sobre un anillo de división (obsérvese la similitud con la estructura de los anillos seriales noetherianos en el párrafo anterior). Una descripción completa de la estructura en el caso de un carcaj circular está más allá del alcance de este artículo, pero se puede encontrar en (Puninski 2001) . Parafraseando el resultado tal como aparece allí: un anillo básico en serie artiniano cuyo carcaj es un círculo es una imagen homomórfica de una "explosión" de un anillo cuasi-Frobenius en serie básico, indescomponible .error de harv: sin destino: CITEREFPuninski2001 ( ayuda )

Una propiedad de unicidad de descomposición.

Se dice que dos módulos U y V tienen la misma clase de monogenia , denotada si existe un monomorfismo y un monomorfismo . Se puede definir la noción dual : se dice que los módulos tienen la misma clase de epigenia , denotada , si existe un epimorfismo y un epimorfismo . ${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$ ${\displaystyle V\rightarrow U}$ ${\displaystyle [U]_{e}=[V]_{e}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$ ${\displaystyle V\rightarrow U}$

Se cumple la siguiente forma débil del teorema de Krull-Schmidt . Sean U ₁ , ..., Un _, V ₁ , ..., Vt _n + t módulos derechos uniseriales distintos de cero sobre un anillo R . Entonces las sumas directas y son módulos R isomorfos si y solo si n = t y existen dos permutaciones y de 1, 2, ..., n tales que y para cada i = 1, 2, ..., n . ${\displaystyle U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}}$ ${\displaystyle V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle [U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}}$ ${\displaystyle [U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}}$

Este resultado, debido a Facchini, fue extendido a infinitas sumas directas de módulos uniseriales por Příhoda en 2006. Esta extensión involucra los llamados módulos uniseriales cuasipequeños. Estos módulos fueron definidos por Nguyen Viet Dung y Facchini, y Puninski demostró su existencia. La forma débil del teorema de Krull-Schmidt es válida no sólo para módulos uniseriales, sino también para varias otras clases de módulos (módulos biuniformes, módulos presentados cíclicamente sobre anillos seriales, núcleos de morfismos entre módulos inyectivos indescomponibles , módulos presentados uniformemente).

Notas sobre términos alternativos, similares y relacionados

Los anillos uniseriales derechos también pueden denominarse anillos de cadena derechos (Faith 1999) o anillos de valoración derechos . Este último término alude a los anillos de valoración , que son por definición dominios conmutativos uniseriales . De la misma manera, a los módulos uniseriales se les ha denominado módulos en cadena , y a los módulos seriales, módulos semicadena . La noción de anillo de catenaria tiene como homónimo "cadena", pero en general no está relacionada con los anillos de cadena.

En la década de 1930, Gottfried Köthe y Keizo Asano introdujeron el término Einreihig (literalmente "serie única") durante las investigaciones de anillos en los que todos los módulos son sumas directas de submódulos cíclicos (Köthe 1935). Por esta razón, uniserial se utilizaba para referirse al "anillo ideal principal artiniano" incluso en la década de 1970. El artículo de Köthe también requería que un anillo uniserial tuviera una serie de composición única , lo que no solo obliga a que los ideales derecho e izquierdo estén ordenados linealmente, sino que también requiere que solo haya un número finito de ideales en las cadenas de ideales izquierdo y derecho. Debido a este precedente histórico, algunos autores incluyen la condición artiniana o condición de longitud de composición finita en sus definiciones de módulos y anillos uniseriales.

Ampliando el trabajo de Köthe, Tadashi Nakayama utilizó el término anillo uniserial generalizado (Nakayama 1941) para referirse a un anillo en serie artiniano. Nakayama demostró que todos los módulos situados sobre dichos anillos son en serie. Los anillos seriales artinianos a veces se denominan álgebras de Nakayama y tienen una teoría modular bien desarrollada.

Warfield usó el término módulo en serie homogéneamente para un módulo en serie con la propiedad adicional de que para dos submódulos A y B generados finitamente , donde J (-) denota el radical de Jacobson del módulo (Warfield 1975). En un módulo con una longitud de composición finita, esto tiene el efecto de obligar a que los factores de composición sean isomórficos, de ahí el adjetivo "homogéneo". Resulta que un anillo en serie R es una suma directa finita de ideales correctos en serie homogénea si y solo si R es isomorfo a un anillo de matriz completo de n  ×  n sobre un anillo en serie local. Estos anillos también se conocen como anillos en serie primarios descomponibles (Faith 1976) (Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko 2004). ${\displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$

Libros de texto

• Frank W. Anderson; Kent R. Fuller (1992), Anillos y categorías de módulos, Springer, págs. 347–349, ISBN 0-387-97845-3
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980), Anillos con condiciones de cadena , Research Notes in Mathematics, vol. 44, Pitman, ISBN 978-0-273-08446-4
• Facchini, Alberto (1998), Anillos de endomorfismo y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos , Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
• Faith, Carl (1976), Álgebra. II. Teoría del anillo. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, n° 191. Springer-Verlag
• Faith, Carl (1999), Anillos y cosas y una excelente variedad de álgebra asociativa del siglo XX , Mathematical Surveys and Monographs, 65. Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-0993-8
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Álgebras, anillos y módulos. vol. 1. , Editorial académica Kluwer, ISBN 1-4020-2690-0
• Puninski, Gennadi (2001a), Anillos de serie , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

Fuentes primarias

• Eisenbud, David; Griffith, Phillip (1971), "La estructura de los anillos en serie", Pacific J. Math. , 36 : 109–121, doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
• Facchini, Alberto (1996), "Krull-Schmidt falla en módulos en serie", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 348 (11): 4561–4575, doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
• Köthe, Gottfried (1935), "Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. (alemán)", Math. Z. , 39 : 31–44, doi :10.1007/bf01201343
• Nakayama, Tadasi (1941), "Sobre las álgebras de Frobenius. II.", Annals of Mathematics , segunda serie, 42 (1): 1–21, doi :10.2307/1968984, hdl : 10338.dmlcz/140501 , JSTOR  1968984
• Příhoda, Pavel (2004), "Teorema débil de Krull-Schmidt y descomposiciones de suma directa de módulos seriales de dimensión finita de Goldie", J. Algebra , 281 : 332–341, doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
• Příhoda, Pavel (2006), "Una versión del teorema débil de Krull-Schmidt para sumas directas infinitas de módulos uniseriales", Comm. Álgebra , 34 (4): 1479–1487, doi :10.1080/00927870500455049
• Puninski, GT (2002), "Anillos seriales artinianos y noetherianos", J. Math. Ciencia. (Nueva York) , 110 : 2330–2347, doi : 10.1023/A:1014906008243
• Puninski, Gennadi (2001b), "Alguna teoría de modelos sobre un dominio uniserial casi simple y descomposiciones de módulos seriales", J. Pure Appl. Álgebra , 163 (3): 319–337, doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
• Puninski, Gennadi (2001c), "Alguna teoría de modelos sobre un anillo uniserial excepcional y descomposiciones de módulos en serie", Journal of the London Mathematical Society , 64 (2): 311–326, doi :10.1112/s0024610701002344
• Warfield, Robert B. Jr. (1975), "Anillos en serie y módulos presentados de forma finita", J. Algebra , 37 (2): 187–222, doi : 10.1016/0021-8693(75)90074-5