Convergencia absoluta uniforme

En matemáticas , la convergencia absoluta uniforme es un tipo de convergencia para series de funciones . Al igual que la convergencia absoluta , tiene la propiedad útil de que se conserva cuando se cambia el orden de suma.

Motivación

Una serie convergente de números puede reordenarse a menudo de forma que la nueva serie diverja. Sin embargo, esto no es posible para series de números no negativos, por lo que la noción de convergencia absoluta excluye este fenómeno. Cuando se trata de series de funciones uniformemente convergentes , ocurre el mismo fenómeno: la serie puede potencialmente reordenarse en una serie no uniformemente convergente, o una serie que ni siquiera converge puntualmente. Esto es imposible para series de funciones no negativas, por lo que se puede utilizar la noción de convergencia absoluta uniforme para descartar estas posibilidades.

Definición

Dado un conjunto X y funciones (o cualquier espacio vectorial normado ), la serie ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

se llama uniformemente absolutamente convergente si la serie de funciones no negativas

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

es uniformemente convergente. ^[1]

Distinciones

Una serie puede ser uniformemente convergente y absolutamente convergente sin ser uniformemente absolutamente convergente. Por ejemplo, si ƒ _n ( x ) = x ⁿ / n en el intervalo abierto (−1,0), entonces la serie Σ f _n ( x ) converge uniformemente por comparación de las sumas parciales con las de Σ(−1) ⁿ / n , y la serie Σ| f _n ( x )| converge absolutamente en cada punto por la prueba de series geométricas, pero Σ| f _n ( x )| no converge uniformemente. Intuitivamente, esto se debe a que la convergencia absoluta se hace cada vez más lenta a medida que x se acerca a −1, donde la convergencia se mantiene pero la convergencia absoluta falla.

Generalizaciones

Si una serie de funciones es uniformemente absolutamente convergente en algún entorno de cada punto de un espacio topológico, es localmente uniformemente absolutamente convergente . Si una serie es uniformemente absolutamente convergente en todos los subconjuntos compactos de un espacio topológico, es compactamente (uniformemente) absolutamente convergente . Si el espacio topológico es localmente compacto , estas nociones son equivalentes.

Propiedades

• Si una serie de funciones en C (o cualquier espacio de Banach ) es uniformemente absolutamente convergente, entonces es uniformemente convergente.
• La convergencia absoluta uniforme es independiente del ordenamiento de una serie. Esto se debe a que, para una serie de funciones no negativas, la convergencia uniforme es equivalente a la propiedad de que, para cualquier ε > 0, hay un número finito de términos de la serie tales que, al excluir estos términos, se obtiene una serie con una suma total menor que la función constante ε, y esta propiedad no se refiere al ordenamiento.

Véase también

• Modos de convergencia (índice anotado)

Referencias

1. Kiyosi Itō (1987). Diccionario enciclopédico de matemáticas, MIT Press.