Secuencia de Cauchy uniforme

En matemáticas , se dice que una secuencia de funciones de un conjunto S a un espacio métrico M es uniformemente de Cauchy si: ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

• Para todo , existe tal que para todo : siempre que . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon }$ ${\displaystyle m,n>N}$

Otra forma de decir esto es que como , donde la distancia uniforme entre dos funciones está definida por ${\displaystyle d_{u}(f_{n},f_{m})\to 0}$ ${\displaystyle m,n\to \infty }$ ${\displaystyle d_{u}}$

${\displaystyle d_{u}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x)).}$

Criterios de convergencia

Una secuencia de funciones { f _n } de S a M es Cauchy puntual si, para cada x ∈ S , la secuencia { f _n ( x )} es una secuencia de Cauchy en M . Esta es una condición más débil que ser uniformemente Cauchy.

En general, una sucesión puede ser puntual de Cauchy y no convergente puntual, o puede ser uniformemente de Cauchy y no uniformemente convergente. Sin embargo, si el espacio métrico M es completo , entonces cualquier sucesión puntual de Cauchy converge puntualmente a una función de S a M. De manera similar, cualquier sucesión uniformemente de Cauchy tenderá uniformemente a dicha función.

La propiedad uniforme de Cauchy se utiliza con frecuencia cuando S no es simplemente un conjunto, sino un espacio topológico , y M es un espacio métrico completo. Se cumple el siguiente teorema:

• Sea S un espacio topológico y M un espacio métrico completo. Entonces cualquier sucesión de Cauchy uniforme de funciones continuas f _n  : S → M tiende uniformemente a una única función continua f  : S → M .

Generalización a espacios uniformes

Se dice que una secuencia de funciones de un conjunto S a un espacio uniforme U es uniformemente Cauchy si: ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

• Para todo y para cualquier epsilon , existe tal que siempre que . ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon }$ ${\displaystyle m,n>N}$

Véase también

• Modos de convergencia (índice anotado)