Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades de George Boole , publicada en 1854, es la segunda de las dos monografías de Boole sobre lógica algebraica . Boole era profesor de matemáticas en lo que entonces era Queen's College, Cork (ahora University College Cork ), en Irlanda .
El historiador de la lógica John Corcoran escribió una introducción accesible a Las leyes del pensamiento [1] y una comparación punto por punto de Análisis previos y Leyes del pensamiento . [2] Según Corcoran, Boole aceptó y respaldó plenamente la lógica de Aristóteles . Los objetivos de Boole eran "ir por debajo, por encima y más allá" de la lógica de Aristóteles al:
Más específicamente, Boole estuvo de acuerdo con lo que dijo Aristóteles ; Los "desacuerdos" de Boole, si se les puede llamar así, se refieren a lo que Aristóteles no dijo. Primero, en el ámbito de los fundamentos, Boole redujo las cuatro formas proposicionales de la lógica de Aristóteles a fórmulas en forma de ecuaciones, una idea revolucionaria en sí misma. En segundo lugar, en el ámbito de los problemas de la lógica, el hecho de que Boole añadiera la resolución de ecuaciones a la lógica (otra idea revolucionaria) implicaba la doctrina de Boole de que las reglas de inferencia de Aristóteles (los “silogismos perfectos”) deben complementarse con reglas para la resolución de ecuaciones. En tercer lugar, en el ámbito de las aplicaciones, el sistema de Boole podía manejar proposiciones y argumentos de términos múltiples, mientras que Aristóteles sólo podía manejar proposiciones y argumentos de sujeto-predicado de dos términos. Por ejemplo, el sistema de Aristóteles no podía deducir “Ningún cuadrilátero que sea un cuadrado es un rectángulo que sea un rombo” de “Ningún cuadrado que sea un cuadrilátero es un rombo que sea un rectángulo” o de “Ningún rombo que sea un rectángulo es un cuadrado que es un cuadrángulo”.
El trabajo de Boole fundó la disciplina de la lógica algebraica. A menudo, aunque erróneamente, se le atribuye la fuente de lo que hoy conocemos como álgebra de Boole . De hecho, sin embargo, el álgebra de Boole difiere del álgebra booleana moderna: en el álgebra de Boole, A+B no puede interpretarse mediante unión de conjuntos, debido a la permisibilidad de términos no interpretables en el cálculo de Boole. Por lo tanto, las álgebras de Boole no pueden interpretarse como conjuntos bajo las operaciones de unión, intersección y complemento, como es el caso del álgebra de Boole moderna. La tarea de desarrollar la explicación moderna del álgebra de Boole recayó en los sucesores de Boole en la tradición de la lógica algebraica ( Jevons 1869, Peirce 1880, Jevons 1890, Schröder 1890, Huntington 1904).
En la explicación que hace Boole de su álgebra, los términos se razonan de forma ecuacional, sin que se les asigne una interpretación sistemática. En algunos lugares, Boole habla de términos interpretados por conjuntos, pero también reconoce términos que no siempre pueden interpretarse así, como el término 2AB, que surge en manipulaciones ecuacionales. A tales términos los clasifica como términos no interpretables ; aunque en otros lugares tiene algunos ejemplos de términos interpretados por números enteros.
Boole justifica la coherencia de toda la empresa en lo que Stanley Burris llamó más tarde la "regla de los 0 y los 1", que justifica la afirmación de que los términos no interpretables no pueden ser el resultado final de manipulaciones ecuacionales a partir de fórmulas iniciales significativas (Burris 2000). Boole no proporcionó ninguna prueba de esta regla, pero Theodore Hailperin demostró la coherencia de su sistema, quien proporcionó una interpretación basada en una construcción bastante simple de anillos a partir de números enteros para proporcionar una interpretación de la teoría de Boole (Hailperin 1976).
En todo discurso, ya sea el de la mente conversando con sus propios pensamientos, o el del individuo en su relación con otros, hay un límite supuesto o expresado dentro del cual se confinan los sujetos de su operación. El discurso más ilimitado es aquel en el que las palabras que utilizamos se entienden en la aplicación más amplia posible y, para ellas, los límites del discurso son coextensivos con los del universo mismo. Pero lo más habitual es que nos limitemos a un campo menos amplio. A veces, al hablar de los hombres damos a entender (sin expresar la limitación) que hablamos de hombres sólo bajo ciertas circunstancias y condiciones, como de hombres civilizados, o de hombres en el vigor de la vida, o de hombres bajo alguna otra condición. o relación. Ahora bien, cualquiera que sea la extensión del campo dentro del cual se encuentran todos los objetos de nuestro discurso, ese campo puede denominarse propiamente universo del discurso . Además, este universo del discurso es, en el sentido más estricto, el sujeto último del discurso.
—George Boole , [3]