Modelo AKLT

Modelo en mecánica cuántica topológica

En física de la materia condensada , un modelo AKLT , también conocido como modelo Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki, es una extensión del modelo de espín cuántico unidimensional de Heisenberg . La propuesta y solución exacta de este modelo por Ian Affleck , Elliott H. Lieb , Tom Kennedy y Hal Tasaki  [ja] ^[1] proporcionó información crucial sobre la física de la cadena de Heisenberg de espín 1. ^{[2] [3] [4] [5]} También ha servido como un ejemplo útil para conceptos como el orden sólido del enlace de valencia, el orden topológico protegido por simetría ^{[6] [7] [8] [9]} y las funciones de onda del estado del producto matricial.

Fondo

Una de las principales motivaciones del modelo AKLT fue la cadena Majumdar-Ghosh . Como dos de cada conjunto de tres espines vecinos en un estado fundamental Majumdar-Ghosh están emparejados en un singlete, o enlace de valencia, nunca se puede encontrar que los tres espines juntos estén en un estado de espín 3/2. De hecho, el hamiltoniano Majumdar-Ghosh no es más que la suma de todos los proyectores de tres espines vecinos en un estado 3/2.

La idea principal del artículo de AKLT fue que esta construcción podría generalizarse para obtener modelos exactamente solucionables para tamaños de espín distintos de 1/2. Así como un extremo de un enlace de valencia es un espín 1/2, los extremos de dos enlaces de valencia pueden combinarse para formar un espín 1, tres para formar un espín 3/2, etc.

Definición

Affleck et al. estaban interesados ​​en construir un estado unidimensional con un enlace de valencia entre cada par de sitios. Como esto conduce a dos espines 1/2 para cada sitio, el resultado debe ser la función de onda de un sistema de espín 1.

Para cada par adyacente de espín 1, dos de los cuatro espín 1/2 constituyentes están atascados en un estado de espín cero total. Por lo tanto, cada par de espín 1 tiene prohibido estar en un estado combinado de espín 2. Al escribir esta condición como una suma de proyectores que favorecen el estado de espín 2 de pares de espín 1, AKLT llegó al siguiente hamiltoniano

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{\langle ij\rangle }{\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}\sim \sum _{j}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1})^{2}}$

hasta una constante, donde son operadores de espín 1 y el proyector local de 2 puntos que favorece el estado de espín 2 de un par de espines adyacente. ${\textstyle {\vec {S_{i}}}}$ ${\textstyle {\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}}$

Este hamiltoniano es similar al modelo de espín cuántico de Heisenberg unidimensional de espín 1, pero tiene un término de interacción de espín "bicuadrático" adicional.

Estado fundamental

Por construcción, el estado fundamental del hamiltoniano AKLT es el sólido de enlace de valencia con un solo enlace de valencia que conecta cada par de sitios vecinos. Gráficamente, esto puede representarse como

Aquí los puntos sólidos representan los espines 1/2 que se ponen en estados singlete. Las líneas que conectan los espines 1/2 son los enlaces de valencia que indican el patrón de los singletes. Los óvalos son operadores de proyección que "unen" dos espines 1/2 en un solo espín 1, proyectando hacia afuera el subespacio de espín 0 o singlete y manteniendo solo el subespacio de espín 1 o triplete. Los símbolos "+", "0" y "−" etiquetan los estados base estándar de espín 1 (estados propios del operador). ^[10] ${\displaystyle S^{z}}$

Estados de borde de giro 1/2

En el caso de espines dispuestos en un anillo (condiciones de contorno periódicas), la construcción AKLT produce un único estado fundamental. Pero en el caso de una cadena abierta, el primer y el último espín 1 tienen un solo vecino, lo que deja uno de sus espines 1/2 constituyentes sin aparear. Como resultado, los extremos de la cadena se comportan como momentos de espín 1/2 libres, aunque el sistema consta únicamente de espines 1.

Los estados de borde de espín 1/2 de la cadena AKLT se pueden observar de diferentes maneras. Para cadenas cortas, los estados de borde se mezclan en un singlete o un triplete dando un estado fundamental único o un multiplete triple de estados fundamentales. Para cadenas más largas, los estados de borde se desacoplan exponencialmente rápidamente como una función de la longitud de la cadena dando lugar a una variedad de estados fundamentales que es cuádruplemente degenerada. ^[11] Al utilizar un método numérico como DMRG para medir la magnetización local a lo largo de la cadena, también es posible ver los estados de borde directamente y demostrar que se pueden eliminar colocando espines 1/2 reales en los extremos. ^[12] Incluso se ha demostrado que es posible detectar los estados de borde de espín 1/2 en mediciones de un compuesto magnético cuasi-1D que contiene una pequeña cantidad de impurezas cuya función es romper las cadenas en segmentos finitos. ^[13] En 2021 , se encontró una firma espectroscópica directa de estados de borde de espín 1/2 en cadenas de espín cuántico aisladas construidas a partir de trianguleno , un hidrocarburo aromático policíclico de espín 1. ^[14]

Representación del estado del producto matricial

La simplicidad del estado fundamental de AKLT permite representarlo en forma compacta como un estado de producto matricial . Esta es una función de onda de la forma

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}$

Aquí los As son un conjunto de tres matrices etiquetadas por y la traza proviene de asumir condiciones de contorno periódicas. ${\displaystyle s_{j}}$

La función de onda del estado fundamental del AKLT corresponde a la elección: ^[10]

${\displaystyle A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}}$

${\displaystyle A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}$

donde es una matriz de Pauli . ${\displaystyle \sigma }$

Generalizaciones y extensiones

El modelo AKLT se ha resuelto en redes de mayor dimensión, ^{[1] [15]} incluso en cuasicristales . ^{[ cita requerida ]} El modelo también se ha construido para álgebras de Lie superiores, incluyendo SU( n ) , ^{[16] [17]} SO( n ) , ^[18] Sp(n) ^[19] y se ha extendido a los grupos cuánticos SUq( n ). ^[20]

Referencias

1. Affleck, Ian; Kennedy, Tom; Lieb, Elliott H.; Tasaki, Hal (1987). "Resultados rigurosos sobre estados fundamentales de enlace de valencia en antiferromagnéticos". Physical Review Letters . 59 (7): 799–802. Bibcode :1987PhRvL..59..799A. doi :10.1103/PhysRevLett.59.799. PMID  10035874.
2. Haldane, FDM (1983). "Teoría de campos no lineal de antiferroimanes de Heisenberg de espín grande: solitones cuantificados semiclásicamente del estado unidimensional de Néel de eje fácil". Phys. Rev. Lett . 50 (15): 1153. Bibcode :1983PhRvL..50.1153H. doi : 10.1103/physrevlett.50.1153 .
3. Haldane, FDM (1983). "Dinámica del continuo del antiferromagnético de Heisenberg 1-D: identificación con el modelo sigma no lineal O(3)". Phys. Lett. A . 93 (9): 464. Bibcode :1983PhLA...93..464H. doi :10.1016/0375-9601(83)90631-x.
4. Affleck, I.; Haldane, FDM (1987). "Teoría crítica de las cadenas de espín cuántico". Phys. Rev. B . 36 (10): 5291–5300. Bibcode :1987PhRvB..36.5291A. doi :10.1103/physrevb.36.5291. PMID  9942166.
5. Affleck, I. (1989). "Cadenas de espín cuántico y la brecha de Haldane". J. Phys.: Condens. Matter . 1 (19): 3047. Bibcode :1989JPCM....1.3047A. doi :10.1088/0953-8984/1/19/001. S2CID  250850599.
6. Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2009). "Enfoque de renormalización por filtrado de entrelazamiento tensorial y orden topológico protegido por simetría". Phys. Rev. B . 80 (15): 155131. arXiv : 0903.1069 . Código Bibliográfico :2009PhRvB..80o5131G. doi :10.1103/physrevb.80.155131. S2CID  15114579.
7. Pollmann, F.; Berg, E.; Turner, Ari M.; Oshikawa, Masaki (2012). "Protección de simetría de fases topológicas en sistemas de espín cuántico unidimensionales" (PDF) . Phys. Rev. B . 85 (7): 075125. arXiv : 0909.4059 . Bibcode :2012PhRvB..85g5125P. doi :10.1103/PhysRevB.85.075125. S2CID  53135907.
8. Chen, Xie; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2011). "Clasificación de fases simétricas con huecos en sistemas de espín 1D". Phys. Rev. B . 83 (3): 035107. arXiv : 1008.3745 . Código Bibliográfico :2011PhRvB..83c5107C. doi :10.1103/physrevb.83.035107. S2CID  9139955.
9. Chen, Xie; Liu, Zheng-Xin; Wen, Xiao-Gang (2011). "Órdenes topológicas protegidas por simetría 2D y sus excitaciones protegidas de aristas sin gapless". Phys. Rev. B . 84 (23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Código Bibliográfico :2011PhRvB..84w5141C. doi :10.1103/physrevb.84.235141. S2CID  55330505.
10. Schollwöck, Ulrich (2011). "El grupo de renormalización de la matriz de densidad en la era de los estados de producto de la matriz". Anales de Física . 326 (1): 96–192. arXiv : 1008.3477 . Código Bibliográfico :2011AnPhy.326...96S. doi :10.1016/j.aop.2010.09.012. S2CID  118735367.
11. Kennedy, Tom (1990). "Diagonalizaciones exactas de cadenas abiertas de espín 1". J. Phys. Condens. Matter . 2 (26): 5737–5745. Bibcode :1990JPCM....2.5737K. doi :10.1088/0953-8984/2/26/010. S2CID  250748917.
12. White, Steven; Huse, David (1993). "Estudio numérico del grupo de renormalización de estados propios de baja altitud de la cadena antiferromagnética S=1 de Heisenberg". Phys. Rev. B . 48 (6): 3844–3852. Bibcode :1993PhRvB..48.3844W. doi :10.1103/PhysRevB.48.3844. PMID  10008834.
13. Hagiwara, M.; Katsumata, K.; Affleck, Ian; Halperin, BI; Renard, JP (1990). "Observación de S = 1/2 grados de libertad en un antiferromagnético de Heisenberg de cadena lineal S = 1". Phys. Rev. Lett . 65 (25): 3181–3184. Bibcode :1990PhRvL..65.3181H. doi :10.1103/PhysRevLett.65.3181. PMID  10042802.
14. Mishra, Shantanu; Catarina, Gonçalo; Wu, Fupeng; Ortiz, Ricardo; Jacob, David; Eimre, Kristjan; Ma, Ji; Pignedoli, Carlo A.; Feng, Xinliang; Ruffieux, Pascal; Fernández-Rossier, Joaquín; Fasel, Roman (13 de octubre de 2021). "Observación de excitaciones de borde fraccionales en cadenas de espín de nanografeno". Nature . 598 (7880): 287–292. arXiv : 2105.09102 . Código Bibliográfico :2021Natur.598..287M. doi :10.1038/s41586-021-03842-3. PMID  34645998. S2CID  234777902.
15. Wei, T.-C.; Affleck, I.; Raussendorf, R. (2012). "El estado Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki en una red de panal es un recurso computacional cuántico universal". Phys. Rev. Lett . 106 (7): 070501. arXiv : 1009.2840 . Código Bibliográfico :2011PhRvL.106g0501W. doi :10.1103/PhysRevLett.106.070501. PMID  21405505. S2CID  15546839.
16. Greiter, Martin; Rachel, Stephan; Schuricht, Dirk (2007). "Resultados exactos para cadenas de espín SU(3): estados trímeros, sólidos con enlaces de valencia y sus hamiltonianos parentales". Phys. Rev. B . 75 (6): 060401(R). arXiv : cond-mat/0701354 . Código Bibliográfico :2007PhRvB..75f0401G. doi :10.1103/PhysRevB.75.060401. S2CID  119373252.
17. Greiter, Martin; Rachel, Stephan (2007). "Sólidos de enlace de valencia para cadenas de espín SU(n): modelos exactos, confinamiento de espín y la brecha de Haldane". Phys. Rev. B . 75 (18): 184441. arXiv : cond-mat/0702443 . Código Bibliográfico :2007PhRvB..75r4441G. doi :10.1103/PhysRevB.75.184441. S2CID  55917580.
18. Tu, Hong-Hao; Zhang, Guang-Ming; Xiang, Tao (2008). "Clase de cadenas de espín simétricas SO(n) exactamente resolubles con estados fundamentales de producto de matriz". Phys. Rev. B . 78 (9): 094404. arXiv : 0806.1839 . Código Bibliográfico :2008PhRvB..78i4404T. doi :10.1103/PhysRevB.78.094404. S2CID  119200687.
19. Schuricht, Dirk; Rachel, Stephan (2008). "Estados sólidos con enlace de valencia y simetría simpléctica". Phys. Rev. B . 78 (1): 014430. arXiv : 0805.3918 . Código Bibliográfico :2008PhRvB..78a4430S. doi :10.1103/PhysRevB.78.014430. S2CID  118429445.
20. Santos, RA; Paraan, FNC; Korepin, VE; Klümper, A. (2012). "Espectros de entrelazamiento del modelo Affleck–Kennedy–Lieb–Tasaki deformado en q y estados de producto de matriz". EPL . 98 (3): 37005. arXiv : 1112.0517 . Bibcode :2012EL.....9837005S. doi :10.1209/0295-5075/98/37005. ISSN  0295-5075. S2CID  119733552.