En matemáticas, la dualidad retorcida de Poincaré es un teorema que elimina la restricción de la dualidad de Poincaré a variedades orientadas . La existencia de una orientación global se sustituye por llevar información local, mediante un sistema de coeficientes locales .
Otra versión del teorema con coeficientes reales presenta la cohomología de Rham con valores en el paquete de orientación . Este es el paquete de líneas reales planas denotado , que se trivializa mediante gráficos de coordenadas de la variedad , con mapas de transición con el signo del determinante jacobiano de los mapas de transición de los gráficos. Como paquete de líneas planas , tiene una cohomología de De Rham, denotada por
Para M una variedad compacta , la cohomología de grado superior está equipada con el llamado morfismo de traza
esto debe interpretarse como integración en M , es decir , evaluación frente a la clase fundamental .
La dualidad de Poincaré para formas diferenciales es entonces la conjunción, para M conectado, de los dos enunciados siguientes:
no es degenerado.
La dualidad orientada de Poincaré está contenida en esta afirmación, como se entiende por el hecho de que el paquete de orientación o(M) es trivial si la variedad está orientada, siendo una orientación una trivialización global, es decir , una sección paralela que no desaparece en ninguna parte.
