Energía cinética de turbulencia

Energía cinética media por unidad de masa de remolinos en flujo turbulento

En dinámica de fluidos , la energía cinética de turbulencia ( TKE ) es la energía cinética media por unidad de masa asociada con los remolinos en un flujo turbulento . Físicamente, la energía cinética de la turbulencia se caracteriza por fluctuaciones de velocidad medidas en términos cuadráticos medios (RMS). En las ecuaciones de Navier Stokes promediadas por Reynolds , la energía cinética de turbulencia se puede calcular basándose en el método de cierre, es decir, un modelo de turbulencia .

El TKE se puede definir como la mitad de la suma de las varianzas σ² (cuadrado de las desviaciones estándar σ) de los componentes fluctuantes de la velocidad:

$${\displaystyle k={\frac {1}{2}}(\sigma _{u}^{2}+\sigma _{v}^{2}+\sigma _{w}^{2})={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right),}$$

descomposición de Reynoldsmedia ${\displaystyle u'=u-{\overline {u}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt\geq 0=\sigma _{u}^{2},\end{aligned}}}$$

El TKE puede producirse por cizallamiento, fricción o flotabilidad del fluido, o mediante forzamiento externo en escalas de remolinos de baja frecuencia (escala integral). La energía cinética de la turbulencia luego se transfiere a lo largo de la cascada de energía de turbulencia y se disipa mediante fuerzas viscosas en la escala de Kolmogorov . Este proceso de producción, transporte y disipación se puede expresar como:

$${\displaystyle {\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon ,}$$

^[1]

• ${\displaystyle {\tfrac {Dk}{Dt}}}$es la derivada de material de flujo medio de TKE;
• ∇ · T′ es el transporte de turbulencia de TKE;
• P es la producción de TKE, y
• ε es la disipación de TKE.

Suponiendo que la viscosidad molecular es constante, y haciendo la aproximación de Boussinesq , la ecuación TKE es:

$${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{Local}} \atop {\text{derivative}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Advection}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{Pressure}} \atop {\text{diffusion}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{Turbulent}} \atop {\text{transport}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{Molecular}} \atop {\text{viscous}}} \atop {\text{transport}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Production}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{Dissipation}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{Buoyancy flux}} \atop b}}$$

Al examinar estos fenómenos, se puede encontrar el balance de energía cinética de turbulencia para un flujo particular. ^[2]

Dinámica de fluidos computacional

En dinámica de fluidos computacional (CFD), es imposible simular numéricamente la turbulencia sin discretizar el campo de flujo hasta las microescalas de Kolmogorov , lo que se denomina simulación numérica directa (DNS). Debido a que las simulaciones de DNS son exorbitantemente costosas debido a los gastos generales de memoria, computación y almacenamiento, se utilizan modelos de turbulencia para simular los efectos de la turbulencia. Se utilizan una variedad de modelos, pero generalmente el TKE es una propiedad de flujo fundamental que debe calcularse para poder modelar la turbulencia del fluido.

Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds

Las simulaciones de Navier-Stokes (RANS) promediadas por Reynolds utilizan la hipótesis de la viscosidad turbulenta de Boussinesq ^[3] para calcular la tensión de Reynolds que resulta del procedimiento de promediación:

$${\displaystyle {\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),}$$

$${\displaystyle \nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.}$$

El método exacto para resolver TKE depende del modelo de turbulencia utilizado; Los modelos k – ε (k–épsilon) suponen una isotropía de turbulencia por la que las tensiones normales son iguales:

$${\displaystyle {\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.}$$

Esta suposición simplifica el modelado de cantidades de turbulencia ( k y ε ), pero no será precisa en escenarios donde domina el comportamiento anisotrópico de las tensiones de turbulencia, y las implicaciones de esto en la producción de turbulencia también conducen a una predicción excesiva ya que la producción depende de la tasa media de deformación, y no la diferencia entre las tensiones normales (ya que, por supuesto, son iguales). ^[4]

Los modelos de tensiones de Reynolds (RSM) utilizan un método diferente para cerrar las tensiones de Reynolds, mediante el cual las tensiones normales no se suponen isotrópicas, por lo que se evita el problema con la producción de TKE.

Condiciones iniciales

La prescripción precisa de TKE como condiciones iniciales en simulaciones CFD es importante para predecir flujos con precisión, especialmente en simulaciones con números de Reynolds altos. A continuación se proporciona un ejemplo de conducto liso.

$${\displaystyle k={\frac {3}{2}}(UI)^{2},}$$

IU

$${\displaystyle I=0.16Re^{-{\frac {1}{8}}}.}$$

Aquí l es la escala de longitud de turbulencia o remolino, que se indica a continuación, y c _μ es un parámetro del modelo k – ε cuyo valor normalmente se da como 0,09;

$${\displaystyle \varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}.}$$

La escala de longitud turbulenta se puede estimar como

$${\displaystyle l=0.07L,}$$

L^[5]

Referencias

1. Papa, SB (2000). Flujos turbulentos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 122-134. ISBN 978-0521598866.
2. Baldocchi, D. (2005), Conferencia 16, Viento y turbulencia, Parte 1, Capa límite superficial: teoría y principios , División de Ciencias de los Ecosistemas, Departamento de Ciencias, Políticas y Gestión Ambientales, Universidad de California, Berkeley, CA: EE. UU.
3. Boussinesq, JV (1877). "Teoría del encuentro Tourbillant". Memoria. Présentés Par Divers Savants Acad. Ciencia. Inst. P.​ 23 : 46–50.
4. Laurence, D. (2002). "Aplicaciones de las ecuaciones de Navier Stokes promediadas por Reynolds a los flujos industriales". En van Beeck, JPAJ; Benocci, C. (eds.). Introducción al modelado de turbulencias, celebrada del 18 al 22 de marzo de 2002 en el Instituto Von Karman de Dinámica de Fluidos . Sint-Genesius-Rode : Instituto Von Karman de Dinámica de Fluidos .
5. Flórez Orrego; et al. (2012). "Estudio experimental y CFD de un intercambiador de calor de bobina helicoidal monofásico en forma de cono: una correlación empírica". Actas de ECOS 2012: 25ª Conferencia Internacional sobre Eficiencia, Costo, Optimización, Simulación e Impacto Ambiental de los Sistemas Energéticos, 26 al 29 de junio de 2012, Perugia, Italia . ISBN 978-88-6655-322-9.

Otras lecturas

• Energía cinética de turbulencia en CFD Online.
• Absi, R. (2008). "Soluciones analíticas para la k -ecuación modelada". Revista de Mecánica Aplicada . 75 (44501): 044501. Código bibliográfico : 2008JAM....75d4501A. doi :10.1115/1.2912722.
• Lacey, RWJ; Neary, VS; Liao, JC; Enders, CE; Tritico, HM (2012). "El marco IPOS: vincular el rendimiento de la natación de los peces en flujos alterados desde experimentos de laboratorio con ríos". Río Res. Aplicar. 28 (4), págs. 429–443. doi:10.1002/rra.1584.
• Wilcox, DC (2006). "Modelado de turbulencias para CFD". Tercera edicion. DCW Industries, La Canadá, Estados Unidos. ISBN 978-1-928729-08-2.