Verdadera anomalía

Parámetros de las órbitas keplerianas

La verdadera anomalía del punto P es el ángulo f . El centro de la elipse es el punto C y el foco es el punto F .

En mecánica celeste , la anomalía verdadera es un parámetro angular que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una órbita kepleriana . Es el ángulo entre la dirección del periapsis y la posición actual del cuerpo, tal como se ve desde el foco principal de la elipse (el punto alrededor del cual orbita el objeto).

La verdadera anomalía suele denotarse con las letras griegas ν o θ , o con la letra latina f , y suele estar restringida al rango de 0 a 360° (0 a 2π rad).

La anomalía verdadera f es uno de los tres parámetros angulares ( anomalías ) que definen una posición a lo largo de una órbita, siendo los otros dos la anomalía excéntrica y la anomalía media .

Fórmulas

A partir de vectores de estado

Para órbitas elípticas, la anomalía verdadera ν se puede calcular a partir de vectores de estado orbital como:

${\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si r ⋅ v < 0 entonces reemplaza ν por 2 π − ν )

dónde:

• v es el vector de velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• e es el vector de excentricidad ,
• r es el vector de posición orbital (segmento FP en la figura) del cuerpo en órbita.

Órbita circular

En el caso de las órbitas circulares, la anomalía verdadera no está definida, ya que las órbitas circulares no tienen un periapsis determinado de forma única. En su lugar, se utiliza el argumento de la latitud u :

${\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si r _z < 0 entonces reemplace u por 2 π − u )

dónde:

• n es un vector que apunta hacia el nodo ascendente (es decir, el componente z de n es cero).
• r _z es el componente z del vector de posición orbital r

Órbita circular con inclinación cero

En el caso de órbitas circulares con inclinación cero, el argumento de la latitud tampoco está definido, porque no existe una línea de nodos determinada de forma única. En su lugar, se utiliza la longitud verdadera :

${\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si v _x > 0 entonces reemplace l por 2 π − l )

dónde:

• r _x es el componente x del vector de posición orbital r
• v _x es el componente x del vector de velocidad orbital v .

De la anomalía excéntrica

La relación entre la anomalía verdadera ν y la anomalía excéntrica es: ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}$

o usando el seno ^[1] y la tangente :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}$

o equivalentemente:

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}$

entonces

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}$

^{Como alternativa, [2]} derivó una forma de esta ecuación que evita problemas numéricos cuando los argumentos están cerca de , ya que las dos tangentes se vuelven infinitas. Además, dado que y siempre están en el mismo cuadrante, no habrá problemas de signos. ${\displaystyle \pm \pi }$ ${\displaystyle {\frac {E}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$

${\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}$dónde ${\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}$

entonces

${\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}$

De la anomalía media

La anomalía verdadera se puede calcular directamente a partir de la anomalía media mediante una expansión de Fourier : ^[3] ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}$

con funciones de Bessel y parámetro . ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$

Omitiendo todos los términos de orden o superior (indicados por ), se puede escribir como ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle e^{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}$

Téngase en cuenta que, por razones de precisión, esta aproximación suele estar limitada a órbitas donde la excentricidad es pequeña. ${\displaystyle e}$

La expresión se conoce como ecuación del centro , donde se dan más detalles sobre la expansión. ${\displaystyle \nu -M}$

Radio desde la anomalía verdadera

El radio (distancia entre el foco de atracción y el cuerpo en órbita) está relacionado con la anomalía real mediante la fórmula

${\displaystyle r(t)=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu (t)}\,\!}$

donde a es el semieje mayor de la órbita .

Véase también

• Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
• Anomalía excéntrica
• Anomalía media
• Elipse
• Hipérbola

Referencias

1. Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones por David A. Vallado
2. Broucke, R.; Cefola, P. (1973). "Una nota sobre las relaciones entre anomalías verdaderas y excéntricas en el problema de los dos cuerpos". Mecánica celeste . 7 (3): 388–389. Bibcode :1973CeMec...7..388B. doi :10.1007/BF01227859. ISSN  0008-8714. S2CID  122878026.
3. Battin, RH (1999). Introducción a las matemáticas y métodos de la astrodinámica. Serie educativa de la AIAA. Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. p. 212 (Ec. (5.32)). ISBN 978-1-60086-026-3. Consultado el 2 de agosto de 2022 .
4. Smart, WM (1977). Libro de texto sobre astronomía esférica (PDF) . pág. 120 (Ec. (87)). Bibcode :1977tsa..book.....S.
5. Roy, AE (2005). Orbital Motion (4.ª ed.). Bristol, Reino Unido; Filadelfia, PA: Institute of Physics (IoP). p. 78 (Eq. (4.65)). Bibcode :2005ormo.book.....R. ISBN 0750310154Archivado del original el 15 de mayo de 2021. Consultado el 29 de agosto de 2020 .

Lectura adicional

• Murray, CD y Dermott, SF, 1999, Dinámica del sistema solar , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4 
• Plummer, HC, 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, Nueva York. OCLC  1311887 (reimpresión de la edición de 1918 de Cambridge University Press).

Enlaces externos

• Administración Federal de Aviación: descripción de las órbitas