Vectores de estados orbitales

Vectores cartesianos de posición y velocidad de un cuerpo en órbita en el espacio

Vector de posición orbital, vector de velocidad orbital, otros elementos orbitales

En astrodinámica y dinámica celeste , los vectores de estado orbitales (a veces vectores de estado ) de una órbita son vectores cartesianos de posición ( ) y velocidad ( ) que junto con su tiempo ( época ) ( ) determinan de forma única la trayectoria del cuerpo en órbita en el espacio. ^{[1] : 154} ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle t}$

Los vectores de estados orbitales vienen en muchas formas, incluidos los vectores tradicionales de posición-velocidad, el conjunto de elementos de dos líneas (TLE) y la matriz de covarianza vectorial (VCM).

Marco de referencia

Los vectores de estado se definen con respecto a un marco de referencia , generalmente, aunque no siempre, un marco de referencia inercial . Uno de los marcos de referencia más populares para los vectores de estado de los cuerpos que se mueven cerca de la Tierra es el sistema inercial centrado en la Tierra (ECI), definido de la siguiente manera: ^{[1] : 23}

• El origen es el centro de masas de la Tierra ;
• El eje Z coincide con el eje de rotación de la Tierra, positivo hacia el norte;
• El plano X/Y coincide con el plano ecuatorial de la Tierra, con el eje +X apuntando hacia el equinoccio de primavera y el eje Y completando un conjunto dextrógiro.

El marco de referencia ECI no es verdaderamente inercial debido a la lenta precesión de 26.000 años del eje de la Tierra , por lo que los marcos de referencia definidos por la orientación de la Tierra en una época astronómica estándar como B1950 o J2000 también se utilizan comúnmente. ^{[2] : 24}

Se pueden utilizar muchos otros marcos de referencia para satisfacer diversos requisitos de aplicación, incluidos aquellos centrados en el Sol o en otros planetas o lunas, el definido por el baricentro y el momento angular total del sistema solar (en particular el ICRF ), o incluso el propio plano orbital y el momento angular de una nave espacial.

Vectores de posición y velocidad

El vector de posición describe la posición del cuerpo en el marco de referencia elegido, mientras que el vector de velocidad describe su velocidad en el mismo marco en el mismo momento. Juntos, estos dos vectores y el momento en el que son válidos describen de forma única la trayectoria del cuerpo, como se detalla en Determinación de la órbita . El razonamiento principal es que la ley de gravitación de Newton produce una aceleración ; si se conoce el producto de la constante gravitacional y la masa atractiva en el centro de la órbita, la posición y la velocidad son los valores iniciales para esa ecuación diferencial de segundo orden para la que tiene una solución única. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-GM/r^{2}}$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$

En realidad, el cuerpo no tiene por qué estar en órbita para que sus vectores de estado determinen su trayectoria; basta con que se mueva balísticamente , es decir, únicamente bajo los efectos de su propia inercia y gravedad. Por ejemplo, podría tratarse de una nave espacial o un misil en una trayectoria suborbital . Si otras fuerzas, como la resistencia o el empuje, son significativas, deben sumarse vectorialmente a las de la gravedad al realizar la integración para determinar la posición y la velocidad futuras.

Para cualquier objeto que se mueva a través del espacio, el vector de velocidad es tangente a la trayectoria. Si es el vector unitario tangente a la trayectoria, entonces ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{t}}$ $${\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {u} }}_{t}}$$

Derivación

El vector de velocidad se puede derivar del vector de posición mediante diferenciación con respecto al tiempo: ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$$

El vector de estado de un objeto se puede utilizar para calcular sus elementos orbitales clásicos o keplerianos y viceversa. Cada representación tiene sus ventajas. Los elementos son más descriptivos del tamaño, la forma y la orientación de una órbita, y se pueden utilizar para estimar de forma rápida y sencilla el estado del objeto en cualquier momento arbitrario, siempre que su movimiento se modele con precisión mediante el problema de los dos cuerpos con solo pequeñas perturbaciones.

Por otra parte, el vector de estado es más directamente útil en una integración numérica que tiene en cuenta fuerzas significativas, arbitrarias y variables en el tiempo, como el arrastre, el empuje y las perturbaciones gravitacionales de terceros cuerpos, así como la gravedad del cuerpo primario.

Los vectores de estado ( y ) se pueden utilizar fácilmente para calcular el vector de momento angular específico como ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$.

Debido a que incluso los satélites en órbita terrestre baja experimentan perturbaciones significativas debido a la forma no esférica de la Tierra , la presión de la radiación solar , la marea lunar y el arrastre atmosférico , los elementos keplerianos calculados a partir del vector de estado en cualquier momento solo son válidos durante un corto período de tiempo y deben volver a calcularse con frecuencia para determinar un estado válido del objeto. Estos conjuntos de elementos se conocen como elementos osculadores porque coinciden con la órbita real solo en ese momento.

Véase también

• Educación financiera europea
• Inercial centrado en la Tierra
• Plano orbital
• Determinación de la órbita
• Vector de estado (navegación)
• Radial, transversal, normal

Referencias

1. Howard Curtis (10 de enero de 2005). Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería (PDF) . Universidad Aeronáutica Embry-Riddle Daytona Beach, Florida: Elsevier . ISBN 0-7506-6169-0. Consultado el 8 de enero de 2023 .
2. Xu, Guochang; Xu, Yan (2016). "Sistemas de coordenadas y tiempo". GPS . págs. 17–36. doi :10.1007/978-3-662-50367-6_2. ISBN 978-3-662-50365-2.