En geometría , una transversal es una línea que pasa por dos líneas en el mismo plano en dos puntos distintos . Las transversales juegan un papel en establecer si dos o más líneas en el plano euclidiano son paralelas . Las intersecciones de una transversal con dos líneas crean varios tipos de pares de ángulos : ángulos internos consecutivos , ángulos externos consecutivos , ángulos correspondientes y ángulos alternos . Como consecuencia del postulado de las paralelas de Euclides , si las dos líneas son paralelas, los ángulos internos consecutivos son suplementarios , los ángulos correspondientes son iguales y los ángulos alternos son iguales.
Una transversal produce 8 ángulos, como se muestra en el gráfico de arriba a la izquierda:
Una transversal que corta dos líneas paralelas en ángulos rectos se llama transversal perpendicular . En este caso, los 8 ángulos son rectos [1]
Cuando las rectas son paralelas , un caso que se considera a menudo, una transversal produce varios ángulos suplementarios congruentes . Algunos de estos pares de ángulos tienen nombres específicos y se analizan a continuación: ángulos correspondientes, ángulos alternos y ángulos consecutivos. [2] [3] : Art. 87
Los ángulos alternos son los cuatro pares de ángulos que:
Si los dos ángulos de un par son congruentes (iguales en medida), entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes.
La proposición 1.27 de los Elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en la geometría hiperbólica como en la euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos alternos de una transversal son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas (no se intersecan).
Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si las dos rectas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos alternos de una transversal son congruentes (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).
Los ángulos correspondientes son los cuatro pares de ángulos que:
Dos líneas son paralelas si y sólo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos correspondientes de cualquier transversal son congruentes (iguales en medida).
La proposición 1.28 de los Elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en la geometría hiperbólica como en la euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos correspondientes de una transversal son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas (no se intersecan).
Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si las dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos correspondientes de una transversal son congruentes (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).
Si los ángulos de un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes. En las distintas imágenes con líneas paralelas de esta página, los pares de ángulos correspondientes son: α=α 1 , β=β 1 , γ=γ 1 y δ=δ 1 .
Los ángulos internos consecutivos son los dos pares de ángulos que: [4] [2]
Dos líneas son paralelas si y sólo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos internos consecutivos de cualquier transversal son suplementarios (suma 180°).
La proposición 1.28 de los Elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en la geometría hiperbólica como en la euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos internos consecutivos son suplementarios, entonces las dos líneas son paralelas (no se intersecan).
Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si las dos rectas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos de una transversal son suplementarios (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).
Si un par de ángulos internos consecutivos es suplementario, el otro par también es suplementario.
Si tres rectas en posición general forman un triángulo y luego son cortadas por una transversal, las longitudes de los seis segmentos resultantes satisfacen el teorema de Menelao .
La formulación de Euclides del postulado de las paralelas puede enunciarse en términos de una transversal. En concreto, si los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son menores que dos ángulos rectos, las líneas deben intersecarse. De hecho, Euclides utiliza la misma frase en griego que suele traducirse como "transversal". [5] : 308, nfote 1
La Proposición 27 de Euclides establece que si una transversal interseca dos líneas de modo que los ángulos alternos internos son congruentes, entonces las líneas son paralelas. Euclides prueba esto por contradicción : si las líneas no son paralelas, entonces deben intersectarse y se forma un triángulo. Entonces uno de los ángulos alternos es un ángulo exterior igual al otro ángulo que es un ángulo interior opuesto en el triángulo. Esto contradice la Proposición 16 que establece que un ángulo exterior de un triángulo es siempre mayor que los ángulos interiores opuestos. [5] : 307 [3] : Art. 88
La Proposición 28 de Euclides extiende este resultado de dos maneras. Primero, si una transversal interseca dos líneas de modo que los ángulos correspondientes son congruentes, entonces las líneas son paralelas. Segundo, si una transversal interseca dos líneas de modo que los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las líneas son paralelas. Esto se deduce de la proposición anterior aplicando el hecho de que los ángulos opuestos de las líneas que se intersecan son iguales (Proposición 15) y que los ángulos adyacentes en una línea son suplementarios (Proposición 13). Como señaló Proclo , Euclides da solo tres de los seis posibles criterios de este tipo para las líneas paralelas. [5] : 309–310 [3] : Art. 89-90
La Proposición 29 de Euclides es inversa a las dos anteriores. En primer lugar, si una transversal interseca dos rectas paralelas, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. Si no, entonces uno es mayor que el otro, lo que implica que su suplemento es menor que el suplemento del otro ángulo. Esto implica que hay ángulos internos del mismo lado de la transversal que son menores que dos ángulos rectos, contradiciendo el quinto postulado. La proposición continúa afirmando que en una transversal de dos rectas paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes y los ángulos internos del mismo lado son iguales a dos ángulos rectos. Estas afirmaciones se siguen de la misma manera que la Proposición 28 se sigue de la Proposición 27. [5] : 311–312 [3] : Art. 93-95
La prueba de Euclides hace un uso esencial del quinto postulado, sin embargo, los tratamientos modernos de la geometría utilizan en su lugar el axioma de Playfair . Para demostrar la proposición 29 suponiendo el axioma de Playfair, supongamos que una transversal cruza dos líneas paralelas y supongamos que los ángulos alternos internos no son iguales. Dibujemos una tercera línea a través del punto donde la transversal cruza la primera línea, pero con un ángulo igual al ángulo que la transversal forma con la segunda línea. Esto produce dos líneas diferentes a través de un punto, ambas paralelas a otra línea, lo que contradice el axioma. [5] : 313 [6]
En espacios de dimensiones superiores, una línea que interseca cada una de las líneas de un conjunto de líneas en puntos distintos es una transversal de ese conjunto de líneas. A diferencia del caso bidimensional (plano), no se garantiza la existencia de transversales para conjuntos de más de dos líneas.
En el espacio tridimensional euclidiano, un régulo es un conjunto de rectas oblicuas , R , tales que por cada punto de cada recta de R pasa una transversal de R y por cada punto de una transversal de R pasa una recta de R. El conjunto de transversales de un régulo R es también un régulo, llamado régulo opuesto , R o . En este espacio, tres rectas mutuamente oblicuas siempre pueden extenderse hasta un régulo.