En geometría , un mosaico de dimensión 2 (un mosaico plano) o superior, o un politopo de dimensión 3 (un poliedro ) o superior, es isoédrico o transitivo de caras si todas sus caras son iguales. Más específicamente, todas las caras no deben ser simplemente congruentes sino que deben ser transitivas , es decir, deben estar dentro de la misma órbita de simetría . En otras palabras, para dos caras cualesquiera A y B , debe haber una simetría de toda la figura mediante traslaciones , rotaciones y/o reflexiones que mapeen A sobre B. Por esta razón, los poliedros isoédricos convexos son las formas que formarán dados justos . [1]
Los poliedros isoédricos se denominan isoedros . Se pueden describir por la configuración de su cara . Un isoedro tiene un número par de caras.
El dual de un poliedro isoédrico es transitivo por vértices , es decir, isogonal. Los sólidos catalanes , las bipirámides y los trapezoedros son todos isoédricos. Son los duales de los sólidos , prismas y antiprismas de Arquímedes (isogonales) , respectivamente. Los sólidos platónicos , que son autoduales o duales con otro sólido platónico, son transitivos de vértice, arista y cara (es decir, isogonales, isotoxales e isoédricos).
Una forma que es isoédrica, tiene vértices regulares y también es transitiva de aristas (es decir, isotoxal) se dice que es un dual cuasiregular . Algunos teóricos consideran que estas figuras son verdaderamente cuasiregulares porque comparten las mismas simetrías, pero esto no es generalmente aceptado.
Un poliedro isoédrico e isogonal se dice que es noble .
No todos los isozonoedros [2] son isoédricos. [3] Por ejemplo, un icosaedro rómbico es un isozonoedro pero no un isoedro. [4]
Un poliedro (o politopo en general) es k -isoédrico si contiene k caras dentro de sus dominios fundamentales de simetría. [5] De manera similar, un mosaico k -isoédrico tiene k órbitas de simetría separadas (puede contener m formas de caras diferentes, para m = k , o solo para algunas m < k ). [6] ("1-isoédrico" es lo mismo que "isoédrico".)
Un poliedro monoédrico o mosaico monoédrico ( m = 1) tiene caras congruentes, ya sea directa o reflexivamente, que ocurren en una o más posiciones de simetría. Un poliedro o mosaico m -édrico tiene m formas de caras diferentes (" diédrico ", " triédrico "... son lo mismo que "2-édrico", "3-édrico"... respectivamente). [7]
Aquí hay algunos ejemplos de poliedros y mosaicos k -isoédricos, con sus caras coloreadas por sus k posiciones de simetría:
Una figura transitiva de células o isocórica es un n - politopo ( n ≥ 4) o n - panal ( n ≥ 3) que tiene sus células congruentes y transitivas entre sí. En 3 dimensiones, los panales catóptricos , duales a los panales uniformes, son isocóricos. En 4 dimensiones se han enumerado politopos isocóricos de hasta 20 celdas. [8]
Una figura facetaria transitiva o isotópica es un politopo o panal de n dimensiones con sus facetas (( n −1) - caras ) congruentes y transitivas. El dual de un isótopo es un politopo isogonal . Por definición, esta propiedad isotópica es común a los duales de los politopos uniformes .