Transformación de Khmaladze

En estadística , la transformación de Khmaladze es una herramienta matemática utilizada para construir pruebas de bondad de ajuste convenientes para funciones de distribución hipotéticas . Más precisamente, supongamos que se generan observaciones aleatorias iid , posiblemente multidimensionales, a partir de una distribución de probabilidad desconocida . Un problema clásico en estadística es decidir qué tan bien una función de distribución hipotética dada , o una familia paramétrica hipotética dada de funciones de distribución , se ajusta al conjunto de observaciones. La transformación de Khmaladze nos permite construir pruebas de bondad de ajuste con propiedades deseables. Lleva el nombre de Estate V. Khmaladze . ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{F_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$

Considere la secuencia de funciones de distribución empíricas basadas en una secuencia de variables aleatorias iid, , a medida que n aumenta. Suponga que es la función de distribución hipotética de cada . Para comprobar si la elección de es correcta o no, los estadísticos utilizan la diferencia normalizada, ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle v_{n}(x)={\sqrt {n}}[F_{n}(x)-F(x)].}$

Este , como proceso aleatorio en , se llama proceso empírico . Se utilizan varias funciones de como estadísticas de prueba. El cambio de la variable , se transforma en el llamado proceso empírico uniforme . Este último es un proceso empírico basado en variables aleatorias independientes , que se distribuyen uniformemente en si las s tienen de hecho una función de distribución . ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle v_{n}(x)=u_{n}(t)}$ ${\displaystyle t=F(x)}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle U_{i}=F(X_{i})}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle F}$

Este hecho fue descubierto y utilizado por primera vez por Kolmogorov (1933), Wald y Wolfowitz (1936) y Smirnov (1937) y, especialmente después de Doob (1949) y Anderson y Darling (1952), ^[1] condujo a la regla estándar de elegir estadísticas de prueba basadas en . Es decir, las estadísticas de prueba se definen (que posiblemente dependen de lo que se está probando) de tal manera que existe otra estadística derivada del proceso empírico uniforme, tal que . Algunos ejemplos son ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle \psi (v_{n},F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi (u_{n})}$ ${\displaystyle \psi (v_{n},F)=\varphi (u_{n})}$

${\displaystyle \sup _{x}|v_{n}(x)|=\sup _{t}|u_{n}(t)|,\quad \sup _{x}{\frac {|v_{n}(x)|}{a(F(x))}}=\sup _{t}{\frac {|u_{n}(t)|}{a(t)}}}$

y

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{n}^{2}(x)\,dF(x)=\int _{0}^{1}u_{n}^{2}(t)\,dt.}$

Para todas estas funciones, su distribución nula (bajo la hipótesis ) no depende de , y puede calcularse una vez y luego usarse para probar cualquier . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Sin embargo, rara vez es necesario comprobar una hipótesis simple, cuando se da una hipótesis fija. Mucho más a menudo, es necesario verificar hipótesis paramétricas , donde la hipótesis depende de algunos parámetros que la hipótesis no especifica y que deben estimarse a partir de la propia muestra. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F=F_{\theta _{n}}}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

Aunque los estimadores , más comúnmente convergen al valor verdadero de , se descubrió que el proceso empírico paramétrico, ^{[2] [3]} o estimado ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\hat {v}}_{n}(x)={\sqrt {n}}[F_{n}(x)-F_{{\hat {\theta }}_{n}}(x)]}$

difiere significativamente de y que el proceso transformado , tiene una distribución para la cual la distribución límite, como , depende de la forma paramétrica de y del estimador particular y, en general, dentro de una familia paramétrica , del valor de . ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{n}(t)={\hat {v}}_{n}(x)}$ ${\displaystyle t=F_{{\hat {\theta }}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle F_{\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$

Desde mediados de la década de 1950 hasta finales de la década de 1980, se realizó mucho trabajo para aclarar la situación y comprender la naturaleza del proceso . ${\displaystyle {\hat {v}}_{n}}$

En 1981, ^[4] y luego en 1987 y 1993, ^[5] Khmaladze sugirió reemplazar el proceso empírico paramétrico únicamente por su parte martingala . ${\displaystyle {\hat {v}}_{n}}$ ${\displaystyle w_{n}}$

${\displaystyle {\hat {v}}_{n}(x)-K_{n}(x)=w_{n}(x)}$

donde es el compensador de . Entonces se establecieron las siguientes propiedades de : ${\displaystyle K_{n}(x)}$ ${\displaystyle {\hat {v}}_{n}(x)}$ ${\displaystyle w_{n}}$

• Aunque la forma de , y por lo tanto, de , depende de , como función tanto de como de , la distribución límite del proceso transformado en el tiempo ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle F_{{\hat {\theta }}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \omega _{n}(t)=w_{n}(x),t=F_{{\hat {\theta }}_{n}}(x)}$

es el del movimiento browniano estándar en , es decir, es nuevamente estándar e independiente de la elección de . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle F_{{\hat {\theta }}_{n}}}$

• La relación entre y y entre sus límites, es de uno a uno, por lo que la inferencia estadística basada en o en son equivalentes, y en , no se pierde nada en comparación con . ${\displaystyle {\hat {v}}_{n}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}_{n}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}_{n}}$
• La construcción de la martingala de innovación podría trasladarse al caso de valores vectoriales , dando lugar a la definición de las llamadas martingalas de escaneo en . ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Durante mucho tiempo, la transformación, aunque conocida, no se utilizó. Más tarde, el trabajo de investigadores como Koenker , Stute, Bai , Koul, Koening y otros la popularizaron en la econometría y otros campos de la estadística. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Proceso empírico

Referencias

1. Anderson, TW; Darling, DA (1952). "Teoría asintótica de ciertos criterios de "bondad de ajuste" basados ​​en procesos estocásticos". Anales de estadística matemática . 23 (2): 193–212. doi : 10.1214/aoms/1177729437 .
2. Kac, M.; Kiefer, J.; Wolfowitz, J. (1955). "Sobre pruebas de normalidad y otras pruebas de bondad de ajuste basadas en métodos de distancia". Anales de estadística matemática . 26 (2): 189–211. doi : 10.1214/aoms/1177728538 . JSTOR  2236876.
3. Gikhman (1954) ^{[ cita completa necesaria ]}
4. Khmaladze, EV (1981). "Enfoque Martingala en la teoría de pruebas de bondad de ajuste". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 26 (2): 240–257. doi :10.1137/1126027.
5. Khmaladze, EV (1993). "Problemas de bondad de ajuste y escaneo de martingalas de innovación". Anales de Estadística . 21 (2): 798–829. doi : 10.1214/aos/1176349152 . JSTOR  2242262.

Lectura adicional

• Koul, HL; Swordson, E. (2011). "Transformación de Khmaladze". Enciclopedia Internacional de Ciencias Estadísticas . Springer. págs. 715–718. doi :10.1007/978-3-642-04898-2_325. ISBN 978-3-642-04897-5.