Subálgebra toral

Álgebra de Lie cuyos elementos son todos semisimples

En matemáticas , una subálgebra toral es una subálgebra de Lie de un álgebra de Lie lineal general cuyos elementos son todos semisimples (o diagonalizables sobre un cuerpo algebraicamente cerrado). ^[1] De manera equivalente, un álgebra de Lie es toral si no contiene elementos nilpotentes distintos de cero . Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, toda álgebra de Lie toral es abeliana ; ^{[1] [2]} por lo tanto, sus elementos son simultáneamente diagonalizables .

En álgebras de Lie semisimples y reductivas

Una subálgebra de un álgebra de Lie semisimple se denomina toral si la representación adjunta de en , es una subálgebra toral. Una subálgebra de Lie toral máxima de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita, o más generalmente de un álgebra de Lie reductiva de dimensión finita , ^{[ cita requerida ]} sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 es una subálgebra de Cartan y viceversa. ^[3] En particular, una subálgebra de Lie toral máxima en este contexto es autonormalizante , coincide con su centralizador y la forma de Killing de restringida a no es degenerada. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Para álgebras de Lie más generales, una subálgebra de Cartan puede diferir de una subálgebra toral máxima.

En un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, existe una subálgebra toral. ^[1] De hecho, si tiene solo elementos nilpotentes, entonces es nilpotente ( teorema de Engel ), pero entonces su forma de Killing es idénticamente cero, contradiciendo la semisimplicidad. Por lo tanto, debe tener un elemento semisimple distinto de cero, digamos x ; el espacio lineal de x es entonces una subálgebra toral. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Véase también

• Toro máximo , en la teoría de grupos de Lie

Referencias

1. Humphreys 1972, Cap. II, § 8.1.
2. Demostración (de Humphreys): Sea . Como es diagonalizable, basta con mostrar que los valores propios de son todos cero. Sea un vector propio de con valor propio . Entonces es una suma de vectores propios de y luego es una combinación lineal de vectores propios de con valores propios distintos de cero. Pero, a menos que , tengamos que es un vector propio de con valor propio cero, una contradicción. Por lo tanto, . ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)}$ ${\displaystyle -\lambda y=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)x}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle -\lambda y}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \square }$
3. Humphreys 1972, Cap. IV, § 15.3. Corolario

• Borel, Armand (1991), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 126 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, Sr.  1102012
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7