Teorema de Tonelli (análisis funcional)

En matemáticas , el teorema de Tonelli en el análisis funcional es un resultado fundamental sobre la semicontinuidad inferior débil de los funcionales no lineales en espacios L p . Como tal, tiene implicaciones importantes para el análisis funcional y el cálculo de variaciones . A grandes rasgos, muestra que la semicontinuidad inferior débil para los funcionales integrales es equivalente a la convexidad del núcleo integral. El resultado se atribuye a la matemática italiana Leonida Tonelli .

Enunciado del teorema

Sea un dominio acotado en un espacio euclidiano de dimensión - y sea una función real continua extendida . Defina una función no lineal sobre funciones mediante ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ $${\displaystyle F[u]=\int _{\Omega }f(u(x))\,\mathrm {d} x.}$$

Entonces es secuencialmente débilmente semicontinuo inferior en el espacio para y débilmente-∗ semicontinuo inferior en si y solo si es convexo . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle 1<p<+\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Funcional lineal discontinuo

Referencias

• Renardy, Michael y Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemáticas Aplicadas 13 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. pág. 347. ISBN. 0-387-00444-0.(Teorema 10.16)