En teoría de grupos , las transformaciones de Tietze se utilizan para transformar una presentación dada de un grupo en otra presentación, a menudo más simple, del mismo grupo . Estas transformaciones llevan el nombre de Heinrich Franz Friedrich Tietze , quien las presentó en un artículo en 1908. [1]
Una presentación es en términos de generadores y relaciones ; formalmente hablando, la presentación es un par de un conjunto de generadores con nombre y un conjunto de palabras en el grupo libre de los generadores que se consideran relaciones. Las transformaciones de Tietze se componen de pasos elementales, cada uno de los cuales individualmente lleva la presentación a la presentación de un grupo isomorfo . Estos pasos elementales pueden operar sobre generadores o relaciones y son de cuatro tipos.
Si se puede derivar una relación de las relaciones existentes, entonces se puede agregar a la presentación sin cambiar el grupo. Sea G=〈 x | x 3 =1 〉 sea una presentación finita para el grupo cíclico de orden 3. Multiplicando x 3 =1 en ambos lados por x 3 obtenemos x 6 = x 3 = 1, por lo que x 6 = 1 es derivable de x 3 =1. Por lo tanto G=〈 x | x 3 =1, x 6 =1 〉 es otra presentación para el mismo grupo.
Si una relación en una presentación se puede derivar de otras relaciones, entonces se puede eliminar de la presentación sin afectar al grupo. En G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1 〉 la relación x 6 = 1 se puede derivar de x 3 = 1 para poder eliminarla de forma segura. Tenga en cuenta, sin embargo, que si x 3 = 1 se elimina de la presentación, el grupo G = 〈x | x 6 = 1 〉 define el grupo cíclico de orden 6 y no define el mismo grupo. Se debe tener cuidado de demostrar que cualquier relación que se elimine es consecuencia de las otras relaciones.
Given a presentation it is possible to add a new generator that is expressed as a word in the original generators. Starting with G = 〈 x | x3 = 1 〉 and letting y = x2 the new presentation G = 〈 x,y | x3 = 1, y = x2 〉 defines the same group.
If a relation can be formed where one of the generators is a word in the other generators then that generator may be removed. In order to do this it is necessary to replace all occurrences of the removed generator with its equivalent word. The presentation for the elementary abelian group of order 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y2=1, z2=1, x=x−1 〉 can be replaced by G = 〈 y,z | y2 = 1, z2 = 1, (yz) = (yz)−1 〉 by removing x.
Let G = 〈 x,y | x3 = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1 〉 be a presentation for the symmetric group of degree three. The generator x corresponds to the permutation (1,2,3) and y to (2,3). Through Tietze transformations this presentation can be converted to G = 〈 y, z | (zy)3 = 1, y2 = 1, z2 = 1 〉, where z corresponds to (1,2).