Teorema del gnomon

Ciertos paralelogramos que aparecen en un gnomon tienen áreas de igual tamaño.

Gnomon: Teorema del Gnomon: área verde = área roja, ${\displaystyle ABFPGD}$

${\displaystyle |AHGD|=|ABFI|,\,|HBFP|=|IPGD|}$

El teorema del gnomon establece que ciertos paralelogramos que aparecen en un gnomon tienen áreas de igual tamaño.

Teorema

En un paralelogramo con un punto en la diagonal , la paralela a través de interseca el lado en y el lado en . De manera similar, la paralela al lado a través de interseca el lado en y el lado en . Entonces el teorema del gnomon establece que los paralelogramos y tienen áreas iguales. ^{[1] [2]} ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle CD}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle HBFP}$ ${\displaystyle IPGD}$

Gnomon es el nombre de la figura en forma de L que consta de dos paralelogramos superpuestos y . Los paralelogramos de igual área y se denominan complementos (de los paralelogramos en diagonal y ). ^[3] ${\displaystyle ABFI}$ ${\displaystyle AHGD}$ ${\displaystyle HBFP}$ ${\displaystyle IPGD}$ ${\displaystyle PFCG}$ ${\displaystyle AHPI}$

Prueba

La demostración del teorema es sencilla si se consideran las áreas del paralelogramo principal y los dos paralelogramos internos alrededor de su diagonal:

• En primer lugar, la diferencia entre el paralelogramo principal y los dos paralelogramos internos es exactamente igual al área combinada de los dos complementarios;
• En segundo lugar, las tres están divididas por la diagonal, lo que da como resultado: ^[4]

${\displaystyle |IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|}$

Aplicaciones y extensiones

representación geométrica de una división

Transfiriendo la relación de una partición del segmento de línea AB al segmento de línea HG: ${\displaystyle {\tfrac {|AH|}{|HB|}}={\tfrac {|HP|}{|PG|}}}$

El teorema del gnomon puede utilizarse para construir un nuevo paralelogramo o rectángulo de igual área que un paralelogramo o rectángulo dado por medio de construcciones con regla y compás . Esto también permite la representación de una división de dos números en términos geométricos, una característica importante para reformular problemas geométricos en términos algebraicos. Más precisamente, si se dan dos números como longitudes de segmentos de línea, se puede construir un tercer segmento de línea, cuya longitud coincida con el cociente de esos dos números (ver diagrama). Otra aplicación es transferir la razón de partición de un segmento de línea a otro segmento de línea (de diferente longitud), dividiendo así ese otro segmento de línea en la misma razón que un segmento de línea dado y su partición (ver diagrama). ^[1]

${\displaystyle \mathbb {A} }$es el paralelepípedo (inferior) alrededor de la diagonal con y sus complementos , y tienen el mismo volumen: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle |\mathbb {B} |=|\mathbb {C} |=|\mathbb {D} |}$

Una afirmación similar se puede hacer en tres dimensiones para los paralelepípedos . En este caso, tienes un punto en la diagonal espacial de un paralelepípedo y, en lugar de dos líneas paralelas, tienes tres planos que pasan por , cada uno paralelo a las caras del paralelepípedo. Los tres planos dividen el paralelepípedo en ocho paralelepípedos más pequeños; dos de ellos rodean la diagonal y se encuentran en . Ahora, cada uno de esos dos paralelepípedos alrededor de la diagonal tiene tres de los seis paralelepípedos restantes unidos a él, y esos tres desempeñan el papel de complementos y tienen el mismo volumen (ver diagrama). ^[2] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Teorema general sobre paralelogramos anidados

Teorema general:
área verde = área azul - área roja

El teorema de gnomon es un caso especial de una afirmación más general sobre paralelogramos anidados con una diagonal común. Para un paralelogramo dado, considérese un paralelogramo interior arbitrario que también tenga como diagonal una diagonal. Además, hay dos paralelogramos determinados de forma única cuyos lados son paralelos a los lados del paralelogramo exterior y que comparten el vértice con el paralelogramo interior. Ahora bien, la diferencia de las áreas de esos dos paralelogramos es igual al área del paralelogramo interior, es decir: ^[2] ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle AFCE}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle GFHD}$ ${\displaystyle IBJF}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle |AFCE|=|GFHD|-|IBJF|}$

Esta afirmación da como resultado el teorema del gnomon si se considera un paralelogramo interior degenerado cuyos vértices están todos en la diagonal . Esto significa, en particular, para los paralelogramos y , que su punto común está en la diagonal y que la diferencia de sus áreas es cero, que es exactamente lo que establece el teorema del gnomon. ${\displaystyle AFCE}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle GFHD}$ ${\displaystyle IBJF}$ ${\displaystyle F}$

Aspectos históricos

El teorema del gnomon fue descrito ya en los Elementos de Euclides (alrededor del 300 a. C.), y allí desempeña un papel importante en la derivación de otros teoremas. Se da como proposición 43 en el Libro I de los Elementos, donde se expresa como una afirmación sobre los paralelogramos sin utilizar el término "gnomon". Este último es introducido por Euclides como la segunda definición del segundo libro de los Elementos. Otros teoremas para los que el gnomon y sus propiedades desempeñan un papel importante son la proposición 6 en el Libro II, la proposición 29 en el Libro VI y las proposiciones 1 a 4 en el Libro XIII. ^{[5] [4] [6]}

Referencias

1. Halbeisen, Lorenz; Hungerbühler, Norbert; Läuchli, Juan (2016), Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie , Springer, págs. 190-191, ISBN 9783662530344
2. Hazard, William J. (1929), "Generalizaciones del teorema de Pitágoras y del teorema del gnomón de Euclides", The American Mathematical Monthly , 36 (1): 32–34, doi :10.1080/00029890.1929.11986904, JSTOR  2300175
3. Tropfke, Johannes (10 de octubre de 2011), Ebene Geometrie (en alemán), Walter de Gruyter, págs. 134-135, ISBN 978-3-11-162693-2
4. Herz-Fischler, Roger (31 de diciembre de 2013), Una historia matemática del número áureo, Courier Corporation, págs. 35-36, ISBN 978-0-486-15232-5
5. Vighi, Paolo; Aschieri, Igino (2010), "Del arte a las matemáticas en las pinturas de Theo van Doesburg", en Vittorio Capecchi; Máximo Buscema; Pierluigi Contucci; Bruno D'Amore (eds.), Aplicaciones de las matemáticas en modelos, redes neuronales artificiales y artes , Springer, págs. 601–610, esp. págs. 603–606, ISBN 9789048185818
6. Evans, George W. (1927), "Parte del álgebra de Euclides", The Mathematics Teacher , 20 (3): 127–141, JSTOR 27950916 

Enlaces externos

• Teorema del gnomon y Definición del gnomon en los Elementos de Euclides