En geometría , los tetraedros de Reeve son una familia de poliedros con vértices en donde r es un entero positivo . Reciben su nombre en honor a John Reeve, quien en 1957 los utilizó para demostrar que no existen generalizaciones de dimensiones superiores del teorema de Pick . [1]
Todos los vértices de un tetraedro de Reeve son puntos de la red (puntos cuyas coordenadas son todos números enteros ). Ningún otro punto de la red se encuentra en la superficie o en el interior del tetraedro . El volumen del tetraedro de Reeve con vértice (1, 1, r ) es r /6 . En 1957, Reeve utilizó este tetraedro para demostrar que existen tetraedros con cuatro puntos de la red como vértices y que no contienen otros puntos de la red, pero con un volumen arbitrariamente grande. [2]
En dos dimensiones, el área de cada poliedro con vértices reticulares se determina como una fórmula del número de puntos reticulares en sus vértices, en su borde y en su interior, de acuerdo con el teorema de Pick . Los tetraedros de Reeve implican que no puede haber una fórmula correspondiente para el volumen en tres o más dimensiones. Cualquier fórmula de este tipo sería incapaz de distinguir los tetraedros de Reeve con diferentes opciones de r entre sí, pero sus volúmenes son todos diferentes. [2]
A pesar de este resultado negativo, es posible (como demostró Reeve) idear una fórmula más complicada para el volumen del poliedro reticular que combina el número de puntos reticulares en el poliedro, el número de puntos de un reticulado más fino en el poliedro y la característica de Euler del poliedro. [2] [3]
El polinomio de Ehrhart de cualquier poliedro reticular cuenta la cantidad de puntos reticulares que contiene cuando se amplía por un factor entero. El polinomio de Ehrhart del tetraedro de Reeve T r de altura r es [4] Por lo tanto, para r ≥ 13 , el coeficiente de t en el polinomio de Ehrhart de T r es negativo. Este ejemplo muestra que los polinomios de Ehrhart a veces pueden tener coeficientes negativos. [4]
