Teorema del anillo

In mathematics, on the region between two well-behaved spheres

En matemáticas, el teorema del anillo (anteriormente llamado conjetura del anillo ) establece aproximadamente que la región entre dos esferas que se comportan bien es un anillo . Está estrechamente relacionado con la conjetura del homeomorfismo estable (ahora probada) que establece que todo homeomorfismo del espacio euclidiano que conserva la orientación es estable.

Declaración

Si S y T son esferas topológicas en el espacio euclidiano, con S contenida en T , entonces no es cierto en general que la región entre ellas sea un anillo , debido a la existencia de esferas salvajes en dimensión al menos 3. Entonces, el teorema del anillo Debe indicarse que se excluyen estos ejemplos, agregando alguna condición para garantizar que S y T se comporten bien. Hay varias formas de hacer esto.

El teorema del anillo establece que si cualquier homeomorfismo h de R ⁿ hacia sí mismo asigna la bola unitaria B a su interior, entonces B − h (interior ( B )) es homeomorfo al anillo S ^{n −1} × [0,1].

Historia de la prueba

El teorema del anillo es trivial en las dimensiones 0 y 1. Fue demostrado en la dimensión 2 por Radó (1924), en la dimensión 3 por Moise (1952), en la dimensión 4 por Quinn (1982) y en las dimensiones al menos 5 por Kirby ( 1969).

truco toroide

El truco del toroide de Robion Kirby es un método de prueba que emplea la inmersión de un toroide perforado en , donde luego se pueden retirar estructuras lisas a lo largo de la inmersión y levantarlas hasta cubrirlas. El truco del toro se utiliza en la prueba de Kirby del teorema del anillo en dimensiones . También se empleó en investigaciones adicionales de variedades topológicas con Laurent C. Siebenmann ^[1] ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}-\mathbb {D} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

Aquí hay una lista de algunas aplicaciones adicionales del truco del toro que aparecieron en la literatura:

• Demostrando la existencia y unicidad (hasta la isotopía) de estructuras lisas en superficies ^[2]
• Demostrando la existencia y unicidad (hasta la isotopía) de estructuras PL en 3 variedades ^[3]

La conjetura del homeomorfismo estable

Un homeomorfismo de R ⁿ se llama estable si es el compuesto de (una familia finita de) homeomorfismos, cada uno de los cuales es la identidad en algún conjunto abierto no vacío.

La conjetura del homeomorfismo estable establece que todo homeomorfismo de R ⁿ que conserva la orientación es estable. Brown y Gluck (1964) demostraron previamente que la conjetura del homeomorfismo estable es equivalente a la conjetura del anillo, por lo que es cierta.

Referencias

1. Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Ensayos fundamentales sobre variedades, suavizados y triangulaciones topológicas (PDF) . Anales de estudios de matemáticas. vol. 88. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-08191-3. SEÑOR  0645390.
2. Hatcher, Allen (12 de diciembre de 2013). "El truco del toroide de Kirby para superficies". arXiv : 1312.3518 [matemáticas.GT].
3. Hamilton, AJS (1976). "La triangulación de 3 variedades". La Revista Trimestral de Matemáticas . 27 (1): 63–70. CiteSeerX 10.1.1.643.6939 . doi :10.1093/qmath/27.1.63. 

• Marrón, Morton; Gluck, Herman (1964), "Estructuras estables en variedades. II. Variedades estables.", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 79 (1): 18–44, doi :10.2307/1970481, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970482, Señor  0158383
• Edwards, Robert D. (1984), "La solución de la conjetura del anillo tetradimensional (después de Frank Quinn)", Teoría de las cuatro variedades (Durham, NH, 1982) , Contemp. Matemáticas, vol. 35, Providencia, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 211–264, doi :10.1090/conm/035/780581, ISBN 9780821850336, SEÑOR  0780581
• Kirby, Robion C. (1969), "Homeomorfismos estables y la conjetura del anillo", Annals of Mathematics , segunda serie, 89 (3): 575–582, doi :10.2307/1970652, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970652, MR  0242165
• Moise, Edwin E. (1952), "Estructuras afines en 3 variedades. V. El teorema de triangulación y Hauptvermutung", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 56 (1): 96–114, doi :10.2307/1969769, ISSN  0003 -486X, JSTOR  1969769, SEÑOR  0048805
• Quinn, Frank (1982), "Fin de los mapas. III. Dimensiones 4 y 5", Journal of Differential Geometry , 17 (3): 503–521, doi : 10.4310/jdg/1214437139 , ISSN  0022-040X, MR  0679069
• Radó, T. (1924), "Über den Begriff der Riemannschen Fläche", Acta Univ. Szeged , 2 : 101-121

Otras lecturas

• Discusión de MathOverflow sobre el truco Torus
• Grabación en vídeo de la entrevista con Robion Kirby
• Seminario sobre variedades topológicas (Universidad de Bonn, 2021)