Teorema máximo

Proporciona condiciones para que un problema de optimización paramétrica tenga soluciones continuas.

El teorema del máximo proporciona condiciones para la continuidad de una función optimizada y el conjunto de sus maximizadores con respecto a sus parámetros. La afirmación fue probada por primera vez por Claude Berge en 1959. ^[1] El teorema se utiliza principalmente en economía matemática y control óptimo .

Declaración del teorema

Teorema del máximo . ^{[2] [3] [4] [5]} Sea y espacios topológicos, sea una función continua sobre el producto y sea una correspondencia de valores compactos tal que para todos . Defina la función marginal (o función de valor ) mediante ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle f:X\times \Theta \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times \Theta }$ ${\displaystyle C:\Theta \rightrightarrows X}$ ${\displaystyle C(\theta )\neq \emptyset }$ ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ ${\displaystyle f^{*}:\Theta \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{*}(\theta )=\sup\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}}$

y el conjunto de maximizadores por ${\displaystyle C^{*}:\Theta \rightrightarrows X}$

${\displaystyle C^{*}(\theta )=\mathrm {arg} \max\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}=\{x\in C(\theta ):f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}}$.

Si es continua (es decir, hemicontinua superior e inferior ) en , entonces la función de valor es continua y el conjunto de maximizadores es hemicontinuo superior con valores compactos y no vacíos. En consecuencia, podrá sustituirse por . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \max }$

Variantes

El teorema del máximo se puede utilizar para la minimización considerando en su lugar la función. ${\displaystyle -f}$

Interpretación

Normalmente se interpreta que el teorema proporciona condiciones para que un problema de optimización paramétrica tenga soluciones continuas con respecto al parámetro. En este caso, es el espacio de parámetros, es la función que se va a maximizar y proporciona el conjunto de restricciones sobre el que se maximiza. Entonces, es el valor maximizado de la función y es el conjunto de puntos que maximizan . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle f(x,\theta )}$ ${\displaystyle C(\theta )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}(\theta )}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle f}$

El resultado es que si los elementos de un problema de optimización son suficientemente continuos, entonces parte, pero no toda, de esa continuidad se conserva en las soluciones.

Prueba

A lo largo de esta prueba usaremos el término vecindad para referirnos a un conjunto abierto que contiene un punto particular. Comenzamos con un lema preliminar, que es un hecho general en el cálculo de correspondencias. Recuerde que una correspondencia está cerrada si su gráfica es cerrada.

Lema . ^{[6] [7] [8]} Si son correspondencias, es hemicontinua superior y de valor compacto, y es cerrada, entonces definida por es hemicontinua superior. ${\displaystyle A,B:\Theta \rightrightarrows X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B:\Theta \rightrightarrows X}$ ${\displaystyle (A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )}$

La continuidad de en el teorema del máximo es el resultado de combinar dos teoremas independientes. ${\displaystyle f^{*}}$

Teorema 1 . ^{[9] [10] [11]} Si es semicontinuo superior y es semicontinuo superior, no vacío y de valor compacto, entonces es semicontinuo superior. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{*}}$

Teorema 2 . ^{[12] [13] [14]} Si es semicontinuo inferior y es semicontinuo inferior, entonces es semicontinuo inferior. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{*}}$

Bajo las hipótesis del teorema del máximo, es continua. Queda por verificar que se trata de una correspondencia hemicontinua superior con valores compactos. Dejar . Para ver que no está vacío, observe que la función by es continua en el conjunto compacto . El teorema del valor extremo implica que no está vacío. Además, como es continuo, se deduce que es un subconjunto cerrado del conjunto compacto , lo que implica que es compacto. Finalmente, definamos por . Como es una función continua, es una correspondencia cerrada. Además, desde , el lema preliminar implica que es hemicontinuo superior. ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ ${\displaystyle C^{*}(\theta )}$ ${\displaystyle f_{\theta }:C(\theta )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\theta }(x)=f(x,\theta )}$ ${\displaystyle C(\theta )}$ ${\displaystyle C^{*}(\theta )}$ ${\displaystyle f_{\theta }}$ ${\displaystyle C^{*}(\theta )}$ ${\displaystyle C(\theta )}$ ${\displaystyle C^{*}(\theta )}$ ${\displaystyle D:\Theta \rightrightarrows X}$ ${\textstyle D(\theta )=\{x\in X:f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle \square }$

Variantes y generalizaciones

Una generalización natural de los resultados anteriores proporciona suficientes condiciones locales para ser continuo y no vacío, de valor compacto y semicontinuo superior. ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle C^{*}}$

Si además de las condiciones anteriores, es cuasicóncavo para cada uno y tiene un valor convexo, entonces también tiene un valor convexo. Si es estrictamente cuasicóncavo para cada uno y tiene un valor convexo, entonces tiene un solo valor y, por lo tanto, es una función continua en lugar de una correspondencia. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{*}}$

Si es cóncavo y tiene una gráfica convexa , entonces es cóncavo y tiene valores convexos. De manera similar a lo anterior, si es estrictamente cóncava, entonces es una función continua. ^[15] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{*}}$

También es posible generalizar el teorema de Berge a correspondencias no compactas si la función objetivo es K-inf-compacta. ^[dieciséis]

Ejemplos

Considere un problema de maximización de la utilidad en el que un consumidor elige entre su conjunto de presupuesto. Traduciendo de la notación anterior a la notación estándar de la teoría del consumidor,

• ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{+}^{l}}$es el espacio de todos los paquetes de mercancías, ${\displaystyle l}$
• ${\displaystyle \Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}}$representa el vector de precios de las mercancías y la riqueza del consumidor , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle f(x,\theta )=u(x)}$es la función de utilidad del consumidor , y
• ${\displaystyle C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}}$es el presupuesto del consumidor fijado .

Entonces,

• ${\displaystyle f^{*}(\theta )=v(p,w)}$es la función de utilidad indirecta y
• ${\displaystyle C^{*}(\theta )=x(p,w)}$es la demanda marshalliana .

Las pruebas en la teoría del equilibrio general a menudo aplican los teoremas del punto fijo de Brouwer o Kakutani a la demanda del consumidor, que requieren compacidad y continuidad, y el teorema del máximo proporciona las condiciones suficientes para hacerlo.

Ver también

• Teorema de la envolvente
• Teorema del punto fijo de Brouwer
• Teorema del punto fijo de Kakutani para correspondencias
• Teorema de selección de Michael

Notas

1. Vale, Efe (2007). Análisis real con aplicaciones económicas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 306.ISBN​ 978-0-691-11768-3.
2. La referencia original es el Teorema del máximo en el Capítulo 6, Sección 3 Claude Berge (1963). Espacios Topológicos . Oliver y Boyd. pag. 116.Es famoso, o quizás infame, que Berge solo considere espacios topológicos de Hausdorff y solo permita aquellos conjuntos compactos que son en sí mismos espacios de Hausdorff. También requiere que las correspondencias hemicontinuas superiores tengan valores compactos. Estas propiedades han sido aclaradas y desagregadas en la literatura posterior.
3. Compárese con el teorema 17.31 en Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Frontera (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista . Saltador. págs.570. ISBN 9783540295860.Esto se da para espacios topológicos arbitrarios. También consideran la posibilidad de que sólo pueda definirse en la gráfica de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$
4. Compárese con el teorema 3.5 de Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivaluado . vol. 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV pág. 84.Consideran el caso que y son espacios de Hausdorff. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle X}$
5. Teorema 3.6 en Beavis, Brian; Dobbs, Ian (1990). Teoría de la Optimización y Estabilidad para el Análisis Económico . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 83–84. ISBN 0-521-33605-8.
6. Compárese con el teorema 7 del capítulo 6, sección 1 de Claude Berge (1963). Espacios Topológicos . Oliver y Boyd. pag. 112.Berge supone que los espacios subyacentes son Hausdorff y emplea esta propiedad (pero no para ) en su prueba. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$
7. Compárese con la Proposición 2.46 en Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivaluado . vol. 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV pág. 53.Suponen implícitamente que y son espacios de Hausdorff, pero su demostración es general. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle X}$
8. Compárese con el Corolario 17.18 en Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Frontera (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista . Saltador. págs.564. ISBN 9783540295860.Esto se da para espacios topológicos arbitrarios, pero la prueba se basa en la maquinaria de las redes topológicas.
9. Compárese con el teorema 2 del capítulo 6, sección 3 de Claude Berge (1963). Espacios Topológicos . Oliver y Boyd. pag. 116.El argumento de Berge es esencialmente el que se presenta aquí, pero nuevamente utiliza resultados auxiliares probados con los supuestos de que los espacios subyacentes son Hausdorff.
10. Compárese con la Proposición 3.1 en Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivaluado . vol. 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV pág. 82.Trabajan exclusivamente con espacios de Hausdorff y su prueba se basa nuevamente en redes topológicas. Su resultado también permite asumir los valores . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$
11. Compárese con el Lema 17.30 en Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Frontera (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista . Saltador. págs.569. ISBN 9783540295860.Consideran espacios topológicos arbitrarios y utilizan un argumento basado en redes topológicas.
12. Compárese con el teorema 1 del capítulo 6, sección 3 de Claude Berge (1963). Espacios Topológicos . Oliver y Boyd. pag. 115.El argumento presentado aquí es esencialmente suyo.
13. Compárese con la Proposición 3.3 en Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivaluado . vol. 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV pág. 83.Trabajan exclusivamente con espacios de Hausdorff y su prueba se basa nuevamente en redes topológicas. Su resultado también permite asumir los valores . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$
14. Compárese con el Lema 17.29 en Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Frontera (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista . Saltador. págs.569. ISBN 9783540295860.Consideran espacios topológicos arbitrarios y utilizan un argumento que involucra redes topológicas.
15. Sundaram, Rangarajan K. (1996). Un primer curso en teoría de la optimización . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 239.ISBN​ 0-521-49770-1.
16. Teorema 1.2 en Feinberg, Eugene A .; Kasyanov, Pavlo O.; Zadoianchuk, Nina V. (enero de 2013). "Teorema de Berge para conjuntos de imágenes no compactos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 397 (1): 255–259. arXiv : 1203.1340 . doi :10.1016/j.jmaa.2012.07.051. S2CID  8603060.

Referencias

• Claude Bergé (1963). Espacios Topológicos . Oliver y Boyd. págs. 115-117.
• Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Frontera (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista . Saltador. págs. 569-571. ISBN 9783540295860.
• Shou Chuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivaluado . vol. 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV págs. 82–89.