Es una cuestión trivial demostrar que un campo aleatorio de Gibbs satisface todas las propiedades de Markov . Como ejemplo de este hecho, véase lo siguiente:
En la imagen de la derecha, un campo aleatorio de Gibbs sobre el gráfico proporcionado tiene la forma . Si las variables y son fijas, entonces la propiedad global de Markov requiere que: (ver independencia condicional ), ya que forma una barrera entre y .
Con y constante, donde y . Esto implica que .
Para establecer que toda distribución de probabilidad positiva que satisface la propiedad local de Markov es también un campo aleatorio de Gibbs, es necesario demostrar el siguiente lema, que proporciona un medio para combinar diferentes factorizaciones:
Lema 1
Sea α el conjunto de todas las variables aleatorias bajo consideración, y sea α el conjunto de variables arbitrarias. (Aquí, dado un conjunto arbitrario de variables α , α también denotará una asignación arbitraria a las variables de α ).
Si
para las funciones y , entonces existen funciones y tales que
En otras palabras, proporciona una plantilla para una mayor factorización de .
El lema 1 proporciona un medio para combinar dos factorizaciones diferentes de . La propiedad local de Markov implica que para cualquier variable aleatoria , existen factores y tales que:
¿Dónde están los vecinos del nodo ? La aplicación repetida del Lema 1 finalmente se convierte en un producto de potenciales de camarilla (ver la imagen de la derecha).
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