En matemáticas , el teorema del índice de Hodge para una superficie algebraica V determina la firma del apareamiento de intersección en las curvas algebraicas C en V. Dice, en términos generales, que el espacio abarcado por tales curvas (hasta la equivalencia lineal ) tiene un subespacio unidimensional en el que es definido positivo (no determinado de manera única), y se descompone como una suma directa de algún subespacio unidimensional de este tipo y un subespacio complementario en el que es definido negativo .
En una declaración más formal, especifique que V es una superficie proyectiva no singular y sea H la clase divisora en V de una sección de hiperplano de V en una incrustación proyectiva dada . Entonces la intersección
donde d es el grado de V (en esa incrustación). Sea D el espacio vectorial de clases de divisores racionales en V , hasta equivalencia algebraica . La dimensión de D es finita y se suele denotar por ρ( V ). El teorema del índice de Hodge dice que el subespacio generado por H en D tiene un subespacio complementario en el que el apareamiento de intersección es definido negativo. Por lo tanto, la signatura (a menudo también llamada índice ) es (1,ρ( V )-1).
El grupo abeliano de clases divisorias hasta la equivalencia algebraica se denomina ahora grupo de Néron-Severi ; se sabe que es un grupo abeliano finitamente generado y el resultado trata de su producto tensorial con el cuerpo de números racionales. Por lo tanto, ρ( V ) es igualmente el rango del grupo de Néron-Severi (que puede tener un subgrupo de torsión no trivial , en ocasiones).
Este resultado fue demostrado en la década de 1930 por WVD Hodge , para variedades sobre los números complejos, después de haber sido una conjetura durante algún tiempo de la escuela italiana de geometría algebraica (en particular, Francesco Severi , quien en este caso demostró que ρ < ∞). Los métodos de Hodge fueron los topológicos introducidos por Lefschetz . El resultado se cumple sobre cuerpos generales ( algebraicamente cerrados ).
