En matemáticas , el teorema de selección de Fraňková-Helly es una generalización del teorema de selección de Helly para funciones de variación acotada al caso de funciones reguladas . Fue demostrado en 1991 por la matemática checa Dana Fraňková.
Sea X un espacio de Hilbert separable y sea BV([0, T ]; X ) el espacio vectorial normado de todas las funciones f : [0, T ] → X con variación total finita en el intervalo [0, T ], dotadas de la norma de variación total. Es bien sabido que BV([0, T ]; X ) satisface el teorema de compacidad conocido como teorema de selección de Helly : dada cualquier secuencia de funciones ( f n ) n ∈ N en BV([0, T ]; X ) que esté uniformemente acotada en la norma de variación total, existe una subsucesión
y una función límite f ∈ BV([0, T ]; X ) tal que f n ( k ) ( t ) converge débilmente en X a f ( t ) para cada t ∈ [0, T ]. Es decir, para cada funcional lineal continuo λ ∈ X *,
Consideremos ahora el espacio de Banach Reg([0, T ]; X ) de todas las funciones reguladas f : [0, T ] → X , dotadas de la norma suprema . El teorema de Helly no se cumple para el espacio Reg([0, T ]; X ): un contraejemplo viene dado por la secuencia
Cabe preguntarse, sin embargo, si un teorema de selección más débil es verdadero y el teorema de selección de Fraňková-Helly es uno de esos resultados.
Como antes, sea X un espacio de Hilbert separable y sea Reg([0, T ]; X ) el espacio de funciones reguladas f : [0, T ] → X , dotado de la norma suprema. Sea ( f n ) n ∈ N una sucesión en Reg([0, T ]; X ) que satisface la siguiente condición: para cada ε > 0, existe algún L ε > 0 de modo que cada f n puede aproximarse mediante un u n ∈ BV([0, T ]; X ) que satisface
y
donde |-| denota la norma en X y Var( u ) denota la variación de u , que se define como el supremo
sobre todas las particiones
de [0, T ]. Entonces existe una subsecuencia
y una función límite f ∈ Reg([0, T ]; X ) tal que f n ( k ) ( t ) converge débilmente en X a f ( t ) para cada t ∈ [0, T ]. Es decir, para cada funcional lineal continuo λ ∈ X *,