Teorema de selección de Fraňková-Helly

Sobre subsecuencias convergentes de funciones reguladas

En matemáticas , el teorema de selección de Fraňková-Helly es una generalización del teorema de selección de Helly para funciones de variación acotada al caso de funciones reguladas . Fue demostrado en 1991 por la matemática checa Dana Fraňková.

Fondo

Sea X un espacio de Hilbert separable y sea BV([0, T ]; X ) el espacio vectorial normado de todas las funciones f  : [0, T ] → X con variación total finita en el intervalo [0, T ], dotadas de la norma de variación total. Es bien sabido que BV([0, T ]; X ) satisface el teorema de compacidad conocido como teorema de selección de Helly : dada cualquier secuencia de funciones ( f _n ) _{n ∈ N} en BV([0, T ]; X ) que esté uniformemente acotada en la norma de variación total, existe una subsucesión

${\displaystyle \left(f_{n(k)}\right)\subseteq (f_{n})\subset \mathrm {BV} ([0,T];X)}$

y una función límite f ∈ BV([0, T ]; X ) tal que f _{n ( k )} ( t ) converge débilmente en X a f ( t ) para cada t ∈ [0, T ]. Es decir, para cada funcional lineal continuo λ ∈ X *,

${\displaystyle \lambda \left(f_{n(k)}(t)\right)\to \lambda (f(t)){\mbox{ in }}\mathbb {R} {\mbox{ as }}k\to \infty .}$

Consideremos ahora el espacio de Banach Reg([0, T ]; X ) de todas las funciones reguladas f  : [0, T ] → X , dotadas de la norma suprema . El teorema de Helly no se cumple para el espacio Reg([0, T ]; X ): un contraejemplo viene dado por la secuencia

${\displaystyle f_{n}(t)=\sin(nt).}$

Cabe preguntarse, sin embargo, si un teorema de selección más débil es verdadero y el teorema de selección de Fraňková-Helly es uno de esos resultados.

Enunciado del teorema de selección de Fraňková-Helly

Como antes, sea X un espacio de Hilbert separable y sea Reg([0, T ]; X ) el espacio de funciones reguladas f  : [0, T ] → X , dotado de la norma suprema. Sea ( f _n ) _{n ∈ N} una sucesión en Reg([0, T ]; X ) que satisface la siguiente condición: para cada ε > 0, existe algún L _ε > 0 de modo que cada f _n puede aproximarse mediante un u _n ∈ BV([0, T ]; X ) que satisface

${\displaystyle \|f_{n}-u_{n}\|_{\infty }<\varepsilon }$

y

${\displaystyle |u_{n}(0)|+\mathrm {Var} (u_{n})\leq L_{\varepsilon },}$

donde |-| denota la norma en X y Var( u ) denota la variación de u , que se define como el supremo

${\displaystyle \sup _{\Pi }\sum _{j=1}^{m}|u(t_{j})-u(t_{j-1})|}$

sobre todas las particiones

${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=T,m\in \mathbf {N} \}}$

de [0, T ]. Entonces existe una subsecuencia

${\displaystyle \left(f_{n(k)}\right)\subseteq (f_{n})\subset \mathrm {Reg} ([0,T];X)}$

y una función límite f ∈ Reg([0, T ]; X ) tal que f _{n ( k )} ( t ) converge débilmente en X a f ( t ) para cada t ∈ [0, T ]. Es decir, para cada funcional lineal continuo λ ∈ X *,

${\displaystyle \lambda \left(f_{n(k)}(t)\right)\to \lambda (f(t)){\mbox{ in }}\mathbb {R} {\mbox{ as }}k\to \infty .}$

Referencias

• Fraňková, Dana (1991). "Funciones reguladas". Matemáticas. Bohemia . 116 (1): 20–59. ISSN  0862-7959. SEÑOR  1100424.