Mathematical theorem about Banach spaces
En la teoría matemática de los espacios de Banach , el teorema del rango cerrado proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que un operador cerrado densamente definido tenga un rango cerrado .
Historia
El teorema fue demostrado por Stefan Banach en su Théorie des opérations linéaires de 1932 .
Declaración
Sean y espacios de Banach, un operador lineal cerrado cuyo dominio es denso en y transpuesto de . El teorema afirma que las siguientes condiciones son equivalentes:
- el rango de está cerrado en
- el rango de está cerrado en el dual de
Donde y son el espacio nulo de y , respectivamente.
Tenga en cuenta que siempre hay una inclusión , porque si y , entonces . Asimismo, hay una inclusión . Entonces, la parte no trivial del teorema anterior es la inclusión opuesta en los dos últimos puntos.
Corolarios
Varios corolarios se desprenden inmediatamente del teorema. Por ejemplo, un operador cerrado densamente definido como el anterior tiene si y sólo si la transpuesta tiene una inversa continua. De manera similar, si y sólo si tiene una inversa continua.
Referencias
- Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
- Yosida, K. (1980), Análisis funcional , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Principios fundamentales de las ciencias matemáticas), vol. 123 (6ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag.