Teorema del dominio sin desplazamientos

Teorema matemático

En matemáticas , el teorema del dominio sin desplazamiento es un resultado sobre sistemas dinámicos , demostrado por Dennis Sullivan en 1985.

El teorema establece que una función racional f  :  Ĉ  →  Ĉ con deg( f ) ≥ 2 no tiene un dominio errante , donde Ĉ denota la esfera de Riemann . Más precisamente, para cada componente U en el conjunto de Fatou de f , la secuencia

${\displaystyle U,f(U),f(f(U)),\dots ,f^{n}(U),\dots }$

eventualmente se volverá periódica. Aquí, f ⁿ denota la iteración n veces mayor de f , es decir, 

${\displaystyle f^{n}=\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} _{n}.}$

Esta imagen ilustra la dinámica de ; el conjunto de Fatou (que consiste enteramente en dominios errantes) se muestra en blanco, mientras que el conjunto de Julia se muestra en tonos de gris. ${\displaystyle f(z)=z+2\pi \sin(z)}$

El teorema no se cumple para funciones arbitrarias; por ejemplo, la función trascendental tiene dominios errantes. Sin embargo, el resultado se puede generalizar a muchas situaciones en las que las funciones pertenecen naturalmente a un espacio de parámetros de dimensión finita, en particular a funciones trascendentales enteras y meromórficas con un número finito de valores singulares. ${\displaystyle f(z)=z+2\pi \sin(z)}$

Referencias

• Lennart Carleson y Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag , Nueva York, 1993, ISBN  0-387-97942-5 MR 1230383
• Dennis Sullivan, Homeomorfismos cuasiconformales y dinámica. I. Solución del problema de Fatou-Julia en dominios errantes , Annals of Mathematics 122 (1985), n.º 3, 401–18. MR 0819553
• S. Zakeri, prueba de Sullivan de la conjetura de Fatou sobre el dominio no errante