En la teoría algebraica de números , el teorema de los ideales primos es la generalización del teorema de los números primos en el campo numérico . Proporciona una fórmula asintótica para contar el número de ideales primos de un campo numérico K , con norma como máximo X.
Lo que cabe esperar ya lo podemos ver para los números enteros gaussianos . Allí, para cualquier número primo p de la forma 4 n + 1, p se factoriza como un producto de dos primos gaussianos de norma p . Los primos de la forma 4 n + 3 siguen siendo primos, dando un primo gaussiano de norma p 2. Por lo tanto, deberíamos estimar
donde r cuenta los primos en la progresión aritmética 4 n + 1, y r ′ en la progresión aritmética 4 n + 3. Por la forma cuantitativa del teorema de Dirichlet sobre primos , cada uno de r ( Y ) y r ′( Y ) es asintóticamente
Por lo tanto, el término 2 r ( X ) domina y es asintóticamente
Este patrón general se cumple para los cuerpos de números en general, de modo que el teorema del ideal primo está dominado por los ideales de norma de un número primo. Como demostró Edmund Landau en Landau 1903, para una norma de X como máximo, la misma fórmula asintótica
siempre se cumple. Heurísticamente, esto se debe a que la derivada logarítmica de la función zeta de Dedekind de K siempre tiene un polo simple con residuo −1 en s = 1.
Al igual que con el teorema de los números primos, se puede dar una estimación más precisa en términos de la función integral logarítmica . El número de ideales primos de norma ≤ X es
donde c K es una constante que depende de K .
