Teorema de los círculos inscritos iguales

Sobre rayos desde un punto a una línea, con círculos inscritos iguales entre rayos adyacentes

Si los círculos azules son iguales, los círculos verdes también son iguales.

En geometría , el teorema de los círculos inscritos iguales deriva de un Sangaku japonés y se refiere a la siguiente construcción: se traza una serie de rayos desde un punto dado hasta una línea dada de manera que los círculos inscritos de los triángulos formados por los rayos adyacentes y la línea base sean iguales. En la ilustración, los círculos azules iguales definen el espaciado entre los rayos, como se describe.

El teorema establece que los círculos inscritos de los triángulos formados (a partir de un rayo dado) por cada dos rayos, cada tres rayos, etc. y la línea de base también son iguales. El caso de cada dos rayos se ilustra arriba con los círculos verdes, que son todos iguales.

Del hecho de que el teorema no depende del ángulo del rayo inicial, se puede ver que el teorema pertenece propiamente al análisis , más que a la geometría, y debe relacionarse con una función de escala continua que define el espaciamiento de los rayos. De hecho, esta función es el seno hiperbólico .

El teorema es un corolario directo del siguiente lema:

Supóngase que el rayo n- ésimo forma un ángulo con la normal a la línea de base. Si está parametrizado según la ecuación, , entonces los valores de , donde y son constantes reales, definen una secuencia de rayos que satisfacen la condición de circunferencias inscritas iguales y, además, cualquier secuencia de rayos que satisfaga la condición puede producirse mediante la elección adecuada de las constantes y . ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle \tan \gamma _{n}=\sinh \theta _{n}}$ ${\displaystyle \theta _{n}=a+nb}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Prueba del lema

En el diagrama, las líneas PS y PT son rayos adyacentes que forman ángulos con la línea PR, que es perpendicular a la línea de base, RST. ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{n+1}}$

La línea QXOY es paralela a la línea base y pasa por O, el centro del círculo inscrito de PST, que es tangente a los rayos en W y Z. Además, la línea PQ tiene longitud , y la línea QR tiene longitud , el radio del círculo inscrito. ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle h-r}$ ${\displaystyle r}$

Entonces OWX es similar a PQX y OZY es similar a PQY, y de XY = XO + OY obtenemos ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$

${\displaystyle (h-r)(\tan \gamma _{n+1}-\tan \gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).}$

Esta relación sobre un conjunto de ángulos, , expresa la condición de círculos inscritos iguales. ${\displaystyle \{\gamma _{m}\}}$

Para demostrar el lema, establecemos , lo que da . ${\displaystyle \tan \gamma _{n}=\sinh(a+nb)}$ ${\displaystyle \sec \gamma _{n}=\cosh(a+nb)}$

Usando , aplicamos las reglas de adición para y , y verificamos que la relación de círculos inscritos iguales se satisface estableciendo ${\displaystyle a+(n+1)b=(a+nb)+b}$ ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle \cosh }$

${\displaystyle {\frac {r}{h-r}}=\tanh {\frac {b}{2}}.}$

Esto da una expresión para el parámetro en términos de las medidas geométricas, y . Con esta definición de obtenemos entonces una expresión para los radios, , de los incírculos formados al tomar cada N- ésimo rayo como los lados de los triángulos ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r_{N}}$

${\displaystyle {\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\tanh {\frac {Nb}{2}}.}$

Véase también

• Función hiperbólica
• Teorema japonés de polígonos cíclicos
• Teorema japonés de los cuadriláteros cíclicos
• Rectas tangentes a círculos

Referencias

• Teorema de los círculos inscritos iguales en el corte del nudo
• J. Tabov. Una nota sobre el teorema de los cinco círculos. Mathematics Magazine 63 (1989), 2, 92–94.