El teorema de reactancia de Foster es un teorema importante en los campos del análisis y la síntesis de redes eléctricas . El teorema establece que la reactancia de una red pasiva sin pérdidas de dos terminales ( un puerto ) siempre aumenta estrictamente de manera monótona con la frecuencia. Se ve fácilmente que las reactancias de los inductores y los condensadores aumentan individualmente con la frecuencia y, a partir de esa base, se puede construir una prueba para las redes pasivas sin pérdidas en general. La prueba del teorema fue presentada por Ronald Martin Foster en 1924, aunque el principio había sido publicado antes por los colegas de Foster en American Telephone & Telegraph .
El teorema puede extenderse a las admitancias y al concepto general de inmitancias . Una consecuencia del teorema de Foster es que los ceros y los polos de la reactancia deben alternarse con la frecuencia. Foster utilizó esta propiedad para desarrollar dos formas canónicas para realizar estas redes. El trabajo de Foster fue un punto de partida importante para el desarrollo de la síntesis de redes .
Es posible construir redes que no sean de Foster utilizando componentes activos como amplificadores. Estos pueden generar una impedancia equivalente a una inductancia o capacitancia negativa. El convertidor de impedancia negativa es un ejemplo de este tipo de circuito.
La reactancia es la parte imaginaria de la impedancia eléctrica compleja . Tanto los condensadores como los inductores poseen reactancia (pero de signo opuesto) y dependen de la frecuencia. La especificación de que la red debe ser pasiva y sin pérdidas implica que no hay resistencias (sin pérdidas), ni amplificadores ni fuentes de energía (pasiva) en la red. En consecuencia, la red debe constar completamente de inductores y condensadores y la impedancia será puramente un número imaginario con una parte real cero. El teorema de Foster se aplica igualmente a la admitancia de una red, es decir, la susceptancia (parte imaginaria de la admitancia) de un puerto único pasivo y sin pérdidas aumenta monótonamente con la frecuencia. Este resultado puede parecer contraintuitivo ya que la admitancia es el recíproco de la impedancia, pero se demuestra fácilmente. Si la impedancia es
donde es la reactancia y es la unidad imaginaria , entonces la admitancia está dada por
¿Dónde está la susceptancia?
Si X aumenta monótonamente con la frecuencia, entonces 1/ X debe disminuir monótonamente. −1/ X debe, en consecuencia, aumentar monótonamente y, por lo tanto, se demuestra que B también aumenta.
En teoría de redes, suele suceder que un principio o procedimiento se aplica igualmente a la impedancia o a la admitancia, lo que refleja el principio de dualidad para redes eléctricas. En estas circunstancias, resulta conveniente utilizar el concepto de inmitancia , que puede significar tanto impedancia como admitancia. Los cálculos se realizan sin especificar unidades hasta que se desea calcular un ejemplo específico. El teorema de Foster puede, por tanto, enunciarse de forma más general como:
El teorema de Foster es bastante general. En particular, se aplica a redes de elementos distribuidos , aunque Foster lo formuló en términos de inductores y condensadores discretos. Por lo tanto, es aplicable tanto a frecuencias de microondas como a frecuencias más bajas. [1] [2]
Los siguientes ejemplos ilustran este teorema en varios circuitos simples.
La impedancia de un inductor viene dada por,
Entonces la reactancia es,
que mediante inspección se puede ver que aumenta monótonamente (y linealmente) con la frecuencia. [3]
La impedancia de un condensador viene dada por,
Entonces la reactancia es,
que a su vez aumenta monótonamente con la frecuencia. La función de impedancia del capacitor es idéntica a la función de admitancia del inductor y viceversa. Es un resultado general que el dual de cualquier función de inmitancia que obedece el teorema de Foster también seguirá el teorema de Foster. [3]
Un circuito LC en serie tiene una impedancia que es la suma de las impedancias de un inductor y un capacitor,
A bajas frecuencias, la reactancia está dominada por el capacitor y, por lo tanto, es grande y negativa. Esta aumenta monótonamente hacia cero (la magnitud de la reactancia del capacitor se vuelve más pequeña). La reactancia pasa por cero en el punto donde las magnitudes de las reactancias del capacitor y del inductor son iguales (la frecuencia de resonancia ) y luego continúa aumentando monótonamente a medida que la reactancia del inductor se vuelve progresivamente dominante. [4]
Un circuito LC paralelo es el dual del circuito en serie y, por lo tanto, su función de admitancia tiene la misma forma que la función de impedancia del circuito en serie.
La función de impedancia es,
A bajas frecuencias, la reactancia está dominada por el inductor y es pequeña y positiva. Esta aumenta monótonamente hacia un polo en la frecuencia antirresonante donde la susceptancia del inductor y el capacitor son iguales y opuestas y se cancelan. Más allá del polo, la reactancia es grande y negativa y aumenta hacia cero, donde está dominada por la capacitancia. [4]
Una consecuencia del teorema de Foster es que los ceros y los polos de cualquier función de inmitancia pasiva deben alternarse a medida que aumenta la frecuencia. Después de pasar por un polo, la función será negativa y está obligada a pasar por cero antes de llegar al siguiente polo para que sea monótonamente creciente. [1]
Los polos y ceros de una función de inmitancia determinan completamente las características de frecuencia de una red de Foster. Dos redes de Foster que tengan polos y ceros idénticos serán circuitos equivalentes en el sentido de que sus funciones de inmitancia serán idénticas. Puede haber una diferencia de factor de escala entre ellas (todos los elementos de la inmitancia multiplicados por el mismo factor de escala), pero la forma de las dos funciones de inmitancia será idéntica. [5]
Otra consecuencia del teorema de Foster es que la fase de una inmitancia debe aumentar monótonamente con la frecuencia. En consecuencia, la gráfica de una función de inmitancia de Foster en un diagrama de Smith siempre debe recorrer el diagrama en el sentido de las agujas del reloj con una frecuencia creciente. [2]
Una inmitancia pasiva de un puerto que consta de elementos discretos (es decir, no elementos distribuidos ) se puede representar como una función racional de s ,
Esto se deriva del hecho de que la impedancia de los elementos L y C son en sí mismas funciones racionales simples y cualquier combinación algebraica de funciones racionales da como resultado otra función racional.
A veces se hace referencia a esto como la impedancia del punto de excitación porque es la impedancia en el lugar de la red en el que se conecta el circuito externo y lo "activa" con una señal. En su artículo, Foster describe cómo se puede realizar una función racional sin pérdidas (si se puede realizar) de dos maneras. La primera forma de Foster consiste en una serie de circuitos LC en paralelo conectados en serie. La segunda forma de impedancia del punto de excitación de Foster consiste en una serie de circuitos LC en serie conectados en paralelo. La realización de la impedancia del punto de excitación no es de ninguna manera única. La realización de Foster tiene la ventaja de que los polos y/o ceros están directamente asociados con un circuito resonante particular, pero hay muchas otras realizaciones. Quizás la más conocida sea la realización de escalera de Wilhelm Cauer a partir del diseño de filtros. [6] [7] [8]
Una red Foster debe ser pasiva, por lo que una red activa, que contenga una fuente de energía, puede no obedecer el teorema de Foster. Estas se denominan redes no Foster. [9] En particular, los circuitos que contienen un amplificador con retroalimentación positiva pueden tener reactancia que disminuye con la frecuencia. Por ejemplo, es posible crear capacitancia e inductancia negativas con circuitos convertidores de impedancia negativa . Estos circuitos tendrán una función de inmitancia con una fase de ±π/2 como una reactancia positiva pero una amplitud de reactancia con una pendiente negativa en relación con la frecuencia. [6]
Estos son de interés porque pueden realizar tareas que una red Foster no puede. Por ejemplo, las redes de adaptación de impedancia pasivas habituales de Foster solo pueden adaptar la impedancia de una antena con una línea de transmisión en frecuencias discretas, lo que limita el ancho de banda de la antena. Una red no Foster podría adaptar una antena en una banda continua de frecuencias. [9] Esto permitiría la creación de antenas compactas que tienen un ancho de banda amplio, violando el límite de Chu-Harrington . Las redes prácticas no Foster son un área activa de investigación.
El teorema fue desarrollado en American Telephone & Telegraph como parte de las investigaciones en curso sobre filtros mejorados para aplicaciones de multiplexación telefónica . Este trabajo fue importante comercialmente; se podían ahorrar grandes sumas de dinero aumentando el número de conversaciones telefónicas que se podían llevar a cabo en una línea. [10] El teorema fue publicado por primera vez por Campbell en 1922, pero sin una prueba. [11] Inmediatamente se hizo un gran uso del teorema en el diseño de filtros; aparece de manera destacada, junto con una prueba, en el artículo de referencia de Zobel de 1923 que resumía el estado del arte del diseño de filtros en ese momento. [12] Foster publicó su artículo al año siguiente, que incluía sus formas de realización canónicas. [13]
Cauer en Alemania comprendió la importancia del trabajo de Foster y lo utilizó como base de la síntesis de redes . Entre las muchas innovaciones de Cauer estuvo la extensión del trabajo de Foster a todas las redes de tipo 2-elemento después de descubrir un isomorfismo entre ellas. Cauer estaba interesado en encontrar la condición necesaria y suficiente para la realizabilidad de una red racional de un puerto a partir de su función polinómica, una condición que ahora se sabe que es una función real positiva , y el problema inverso de qué redes eran equivalentes, es decir, tenían la misma función polinómica. Ambos fueron problemas importantes en la teoría de redes y el diseño de filtros. Las redes de Foster son solo un subconjunto de las redes realizables, [14]
