Teorema de intersección

Sobre las razones de los segmentos de línea que se forman cuando dos líneas que se intersecan son cortadas por un par de paralelas

El teorema de intersección , también conocido como teorema de Tales , teorema de proporcionalidad básica o teorema del divisor lateral , es un teorema importante en geometría elemental sobre las razones de varios segmentos de línea que se crean si dos rayos con un punto de inicio común son interceptados por un par de paralelas . Es equivalente al teorema sobre razones en triángulos semejantes . Se atribuye tradicionalmente al matemático griego Tales . Era conocido por los antiguos babilonios y egipcios , aunque su primera prueba conocida aparece en los Elementos de Euclides .

Formulación del teorema

Teorema de intersección con rayos

| SA | / | SB | = | AC | / | BD | no implica necesariamente que AC sea paralelo a BD .

Supóngase que S es el punto de partida común de dos rayos y que dos líneas paralelas intersecan esos dos rayos (véase la figura). Sean A, B las intersecciones del primer rayo con los dos paralelos, de modo que B está más alejado de S que A, y de modo similar C, D son las intersecciones del segundo rayo con los dos paralelos de modo que D está más alejado de S que C. En esta configuración se cumplen las siguientes afirmaciones: ^{[1] [2]}

1. La relación de dos segmentos cualesquiera en el primer rayo es igual a la relación de los segmentos correspondientes en el segundo rayo: , ,
   ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}}$ ${\displaystyle {\frac {|SB|}{|AB|}}={\frac {|SD|}{|CD|}}}$ ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}}$
2. La relación de los dos segmentos del mismo rayo que comienza en S es igual a la relación de los segmentos de los paralelos:
   ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}}$
3. La inversa de la primera afirmación también es cierta, es decir, si los dos rayos son interceptados por dos líneas arbitrarias y se cumple, entonces las dos líneas que se interceptan son paralelas. Sin embargo, la inversa de la segunda afirmación no es cierta (véase el gráfico para un contraejemplo). ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}}$

Ampliaciones y conclusiones

Teorema de intersección con un par de líneas que se intersecan

Teorema de intersección con más de dos líneas

Las dos primeras afirmaciones siguen siendo verdaderas si los dos rayos se sustituyen por dos líneas que se intersecan en . En este caso hay dos escenarios con respecto a , o se encuentra entre los 2 paralelos (figura X) o no (figura V). Si no se encuentra entre los dos paralelos, el teorema original se aplica directamente. Si se encuentra entre los dos paralelos, entonces una reflexión de y en produce V figura con medidas idénticas para las cuales ahora se aplica el teorema original. ^[2] Sin embargo, la tercera afirmación (recíproca) no sigue siendo verdadera para las líneas. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$

Si hay más de dos rayos que comienzan en o más de dos líneas que se intersecan en , entonces cada paralelo contiene más de un segmento de línea y la razón de dos segmentos de línea en un paralelo es igual a la razón de los segmentos de línea correspondientes en el otro paralelo. Por ejemplo, si hay un tercer rayo que comienza en y se interseca con los paralelos en y , de modo que está más lejos de que , entonces se cumplen las siguientes igualdades: ^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|AE|}{|BF|}}={\frac {|EC|}{|FD|}}}$, ${\displaystyle {\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|BF|}{|FD|}}}$

Para la segunda ecuación también es cierto lo inverso, es decir, si los tres rayos son interceptados por dos líneas y las razones de los segmentos de línea correspondientes en cada línea son iguales, entonces esas dos líneas deben ser paralelas. ^[4]

Conceptos relacionados

Semejanza y triángulos semejantes

Ordenar dos triángulos semejantes, de modo que se pueda aplicar el teorema de intersección

El teorema de la intersección está estrechamente relacionado con la semejanza . Es equivalente al concepto de triángulos semejantes , es decir, se puede utilizar para demostrar las propiedades de los triángulos semejantes y los triángulos semejantes se pueden utilizar para demostrar el teorema de la intersección. Al hacer coincidir ángulos idénticos, siempre se pueden colocar dos triángulos semejantes uno dentro del otro de modo que se obtenga la configuración en la que se aplica el teorema de la intersección; y, a la inversa, la configuración del teorema de la intersección siempre contiene dos triángulos semejantes.

Multiplicación escalar en espacios vectoriales

En un espacio vectorial normado , los axiomas relativos a la multiplicación escalar (en particular y ) garantizan que se cumpla el teorema de intersección. Se tiene ${\displaystyle \lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}}$ ${\displaystyle \|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|}$ ${\displaystyle {\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |}$

Aplicaciones

Formulación algebraica de construcciones con compás y regla

Hay tres problemas famosos en geometría elemental que fueron planteados por los griegos en términos de construcciones con compás y regla : ^{[6] [7]}

1. Trisecando el ángulo
2. Duplicando el cubo
3. Cuadrando el círculo

Pasaron más de 2000 años hasta que finalmente se demostró que los tres eran imposibles. Esto se logró en el siglo XIX con la ayuda de métodos algebraicos, que ya estaban disponibles en ese entonces. Para reformular los tres problemas en términos algebraicos utilizando extensiones de campo , es necesario hacer coincidir las operaciones de campo con construcciones de compás y regla (ver número construible ). En particular, es importante asegurar que para dos segmentos de línea dados, se pueda construir un nuevo segmento de línea, de modo que su longitud sea igual al producto de las longitudes de los otros dos. De manera similar, se necesita poder construir, para un segmento de línea de longitud , un nuevo segmento de línea de longitud . El teorema de intersección se puede utilizar para demostrar que, para ambos casos, dicha construcción es posible. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Dividir un segmento de línea en una proporción dada

Para dividir un segmento de línea arbitrario en una proporción, dibuje un ángulo arbitrario en A con un cateto. En el otro cateto, construya puntos equidistantes, luego dibuje la línea a través del último punto y B y una línea paralela a través del punto m . Esta línea paralela divide en la proporción deseada. El gráfico a la derecha muestra la partición de un segmento de línea en una proporción. ^[8] ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle m:n}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle 5:3}$

Medición y topografía

Altura de la pirámide de Keops

piezas de medición

Computación C y D

Según algunas fuentes históricas, el matemático griego Tales aplicó el teorema de la intersección para determinar la altura de la pirámide de Keops . La siguiente descripción ilustra el uso del teorema de la intersección para calcular la altura de la pirámide. Sin embargo, no relata el trabajo original de Tales, que se perdió. ^{[9] [10]}

Tales midió la longitud de la base de la pirámide y la altura de su mástil. Luego, a la misma hora del día, midió la longitud de la sombra de la pirámide y la longitud de la sombra del mástil. Esto arrojó los siguientes datos:

• Altura del poste (A): 1,63 m
• sombra del poste (B): 2 m
• Longitud de la base de la pirámide: 230 m
• sombra de la pirámide: 65 m

A partir de esto calculó

${\displaystyle C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}}$

Al conocer A, B y C, ahora podía aplicar el teorema de intersección para calcular

${\displaystyle D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}}$

Medición del ancho de un río

El teorema de intersección se puede utilizar para determinar una distancia que no se puede medir directamente, como el ancho de un río o un lago, la altura de edificios altos o algo similar. El gráfico de la derecha ilustra la medición del ancho de un río. Los segmentos , , se miden y se utilizan para calcular la distancia deseada . ${\displaystyle |CF|}$ ${\displaystyle |CA|}$ ${\displaystyle |FE|}$ ${\displaystyle |AB|={\frac {|AC||FE|}{|FC|}}}$

Líneas paralelas en triángulos y trapecios

El teorema de intersección se puede utilizar para demostrar que una determinada construcción produce líneas (segmentos) paralelos.

Aspectos históricos

El teorema se atribuye tradicionalmente al matemático griego Tales de Mileto , quien puede haber utilizado alguna forma del teorema para determinar las alturas de las pirámides en Egipto y para calcular la distancia del barco desde la costa. ^{[11] [12] [13] [14]}

Prueba

Una demostración elemental del teorema utiliza triángulos de igual área para derivar las afirmaciones básicas sobre las proporciones (afirmación 1). Las demás afirmaciones se deducen de la aplicación de la primera afirmación y la contradicción. ^[1]

Reclamación 1

Reclamación 2

Reclamación 3

Notas

1. Schupp, H. (1977). Elementargeometrie (en alemán). UTB Schöningh. págs. 124-126. ISBN 3-506-99189-2.
2. Strahlensätze . En: Schülerduden: Mathematik I. Dudenverlag, 8. edición, Mannheim 2008, págs. 431–433 (alemán)
3. Agricola, Ilka ; Friedrich, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. págs. 10-13, 16-18. ISBN 0-8218-4347-8.( copia en línea , pág. 10, en Google Books )
4. Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344 , págs. 191-208 (alemán) 
5. Ver Agricola/Thomas o la siguiente figura:

   

   | SA | / | SB | = | SC | / | SD | no implica necesariamente que AC sea paralelo a BD .

6. Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Regla y ronda , Dover, pág. 3, ISBN 0-486-42515-0
7. Kunz, Ernst (1991). Álgebra (en alemán). Vereg. págs. 5–7. ISBN 3-528-07243-1.
8. Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012). La geometría según su historia . Springer. pp. 7. ISBN. 978-3-642-29163-0.( copia en línea , pág. 7, en Google Books )
9. No se ha conservado ninguna obra original de Tales. Todas las fuentes históricas que le atribuyen el teorema de la intersección o conocimientos relacionados con él fueron escritas siglos después de su muerte. Diógenes Laercio y Plinio dan una descripción que, en sentido estricto, no requiere el teorema de la intersección, sino que puede basarse únicamente en una simple observación, a saber, que en un determinado momento del día la longitud de la sombra de un objeto coincidirá con su altura. Laercio cita una declaración del filósofo Jerónimo (siglo III a. C.) sobre Tales: " Jerónimo dice que [Tales] midió la altura de las pirámides por la sombra que proyectan, tomando la observación en la hora en que nuestra sombra tiene la misma longitud que nosotros (es decir, nuestra propia altura) ". Plinio escribe: " Tales descubrió cómo obtener la altura de las pirámides y todos los demás objetos similares, es decir, midiendo la sombra del objeto en el momento en que un cuerpo y su sombra tienen la misma longitud ". Sin embargo, Plutarco da una explicación que puede sugerir que Tales conocía el teorema de la intersección o al menos un caso especial del mismo: " ... sin esfuerzo ni ayuda de ningún instrumento [él] simplemente colocó un palo en el extremo de la sombra proyectada por la pirámide y, habiendo hecho así dos triángulos por la intersección de los rayos del sol, ... demostró que la pirámide tiene con el palo la misma proporción que la sombra [de la pirámide] tiene con la sombra [del palo] ". (Fuente: biografía de Tales del MacTutor , las obras originales (traducidas) de Plutarco y Laercio son: Moralia, La cena de los siete sabios, 147A y Vidas de filósofos eminentes, Capítulo 1. Tales, párrafo 27)
10. Herbert Bruderer: Hitos en la computación analógica y digital . Springer, 2021, ISBN 9783030409746 , págs. 214–217 
11. Dietmar Herrmann: Matemáticas antiguas. Historia de las matemáticas en la antigua Grecia y el helenismo , Springer 2022, ISBN 978-3-662-66493-3 , págs. 27-36 
12. Francis Borceux: Un enfoque axiomático de la geometría . Springer, 2013, págs. 10-13
13. Gilles Dowek: Computación, prueba, máquina . Cambridge University Press, 2015, ISBN 9780521118019 , págs. 17-18 
14. Lothar Redlin, Ngo Viet, Saleem Watson: "La sombra de Thales", Mathematics Magazine , vol. 73, núm. 5 (diciembre de 2000), págs. 347-353 (JSTOR)

Referencias

• French, Doug (2004). Enseñanza y aprendizaje de la geometría . Bloomsbury. Págs. 84-87. ISBN. 9780826473622.( copia en línea , pág. 84, en Google Books )
• Agricola, Ilka ; Friedrich, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. págs. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8.( copia en línea , pág. 10, en Google Books )
• Stillwell, John (2005). Los cuatro pilares de la geometría. Springer. pág. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.( copia en línea , pág. 34, en Google Books )
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012). La geometría según su historia . Springer. pp. 3–7. ISBN 978-3-642-29163-0.( copia en línea , pág. 3, en Google Books )
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344 , págs. 191-208 (alemán) 

Enlaces externos

• Teorema de intersección en PlanetMath
• Alexander Bogomolny: Teoremas de Tales y en particular el Teorema de Tales en Cut-the-Knot
• Teorema de intersección interactivo