Descomposición de clústeres

Condición de localidad en la teoría cuántica de campos

En física , la propiedad de descomposición en cúmulos establece que los experimentos realizados lejos unos de otros no pueden influirse entre sí. Generalmente aplicada a la teoría cuántica de campos , requiere que los valores esperados del vacío de los operadores localizados en regiones acotadas se factoricen siempre que estas regiones se distancien lo suficiente entre sí. Formulada por primera vez por Eyvind Wichmann y James H. Crichton en 1963 en el contexto de la matriz S , ^[1] Steven Weinberg conjeturó que en el límite de baja energía la propiedad de descomposición en cúmulos, junto con la invariancia de Lorentz y la mecánica cuántica , conducen inevitablemente a la teoría cuántica de campos. La teoría de cuerdas satisface las tres condiciones y, por lo tanto, proporciona un contraejemplo de que esto no sea cierto en todas las escalas de energía. ^[2]

Formulación

La matriz S describe la amplitud de un proceso con un estado inicial que evoluciona hacia un estado final . Si los estados inicial y final consisten en dos grupos, con y cerca uno del otro pero lejos del par y , entonces la propiedad de descomposición del grupo requiere que la matriz S factorice ${\displaystyle S_{\beta \alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$

${\displaystyle S_{\beta \alpha }\rightarrow S_{\beta _{1}\alpha _{1}}S_{\beta _{2}\alpha _{2}}}$

a medida que aumenta la distancia entre los dos cúmulos. La interpretación física de esto es que dos experimentos bien separados espacialmente no pueden influirse entre sí. ^[3] Esta condición es fundamental para la capacidad de hacer física sin tener que conocer el estado de todo el universo . Al expandir la matriz S en una suma de un producto de elementos de la matriz S conectados , que a nivel perturbativo son equivalentes a diagramas de Feynman conectados , la propiedad de descomposición del cúmulo puede reformularse como exigiendo que los elementos de la matriz S conectados deben desaparecer siempre que algunos de sus cúmulos de partículas estén muy separados entre sí. ${\displaystyle \alpha _{1}\rightarrow \beta _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}\rightarrow \beta _{2}}$ ${\displaystyle S_{\beta \alpha }^{c}}$

Esta formulación del espacio de posición también se puede reformular en términos de la matriz S del espacio de momento . ^[4] Dado que su transformación de Fourier da la matriz S conectada con el espacio de posición , esto solo depende de la posición a través de los términos exponenciales. Por lo tanto, realizar una traslación uniforme en una dirección en un subconjunto de partículas cambiará efectivamente la matriz S del espacio de momento como ${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}\xrightarrow {{\boldsymbol {x}}_{i}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{i}+{\boldsymbol {a}}} e^{i{\boldsymbol {a}}\cdot (\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i})}{\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}.}$

Por invariancia traslacional , una traslación de todas las partículas no puede cambiar la matriz S , por lo tanto debe ser proporcional a una función delta que conserva el momento para asegurar que el factor exponencial de traslación se anule. Si hay una función delta adicional de solo un subconjunto de momentos correspondientes a algún grupo de partículas, entonces este grupo se puede mover arbitrariamente lejos a través de una traslación sin cambiar la matriz S , lo que violaría la descomposición del grupo. Esto significa que en el espacio de momento la propiedad requiere que la matriz S solo tenga una única función delta. ${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }}$ ${\displaystyle \delta (\Sigma {\boldsymbol {p}})}$

La descomposición en clústeres también se puede formular en términos de funciones de correlación , donde para dos operadores cualesquiera y localizados en alguna región, los valores esperados del vacío se factorizan a medida que los dos operadores se separan distantemente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}(x)}$

${\displaystyle \lim _{|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty }\langle {\mathcal {O}}_{1}({\boldsymbol {x}}){\mathcal {O}}_{2}(0)\rangle \rightarrow \langle {\mathcal {O}}_{1}\rangle \langle {\mathcal {O}}_{2}\rangle .}$

Esta formulación permite que la propiedad se aplique a teorías que carecen de una matriz S , como las teorías de campos conformes . Es en términos de estas funciones de Wightman que la propiedad se formula generalmente en la teoría cuántica de campos axiomática . ^[5] En algunas formulaciones, como la teoría de campos constructiva euclidiana , se introduce explícitamente como un axioma . ^[6]

Propiedades

Si se construye una teoría a partir de operadores de creación y aniquilación , entonces la propiedad de descomposición en grupos se cumple automáticamente. Esto se puede ver al expandir la matriz S como una suma de diagramas de Feynman que permite la identificación de elementos de matriz S conectados con diagramas de Feynman conectados. Los vértices surgen siempre que los operadores de creación y aniquilación se conmutan entre sí dejando atrás una única función delta de momento. En cualquier diagrama conectado con V vértices, I líneas internas y L bucles, IL de las funciones delta pasan a fijar momentos internos, dejando V-(IL) funciones delta sin fijar. Una forma de la fórmula de Euler establece que cualquier grafo con C componentes conectados disjuntos satisface C = V-I+L. Dado que los elementos de matriz S conectados corresponden a diagramas C=1, estos solo tienen una única función delta y, por lo tanto, se cumple la propiedad de descomposición en grupos, como se formuló anteriormente en el espacio de momento en términos de funciones delta.

La microcausalidad, la condición de localidad que requiere que las relaciones de conmutación de los operadores locales desaparezcan para las separaciones espaciales , es una condición suficiente para que la matriz S satisfaga la descomposición en cúmulos. En este sentido, la descomposición en cúmulos cumple un propósito similar para la matriz S al que cumple la microcausalidad para los campos , evitando que la influencia causal se propague entre regiones que están distantes. ^[7] Sin embargo, la descomposición en cúmulos es más débil que no tener causalidad superlumínica , ya que también se puede formular para las teorías clásicas. ^[8]

Un requisito clave para la descomposición en cúmulos es que requiere un estado de vacío único , y falla si el estado de vacío es un estado mixto . ^[9] La velocidad a la que se factorizan las funciones de correlación depende del espectro de la teoría, donde si tiene una brecha de masa , entonces hay una caída exponencial , mientras que si hay partículas sin masa presentes, puede ser tan lenta como . ^[10] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \langle \phi (x)\phi (0)\rangle \sim e^{-m|x|}}$ ${\displaystyle 1/|x|^{2}}$

Referencias

1. Wichmann, EH; Crichton, JH (1963). "Propiedades de descomposición en grupos de la matriz S". Phys. Rev. 132 ( 6). American Physical Society: 2788–2799. Código Bibliográfico :1963PhRv..132.2788W. doi :10.1103/PhysRev.132.2788.
2. Weinberg, S. (1996). ¿Qué es la teoría cuántica de campos y qué pensábamos que era? . Conferencia sobre análisis histórico y reflexiones filosóficas sobre los fundamentos de la teoría cuántica de campos. pp. 241–251. arXiv : hep-th/9702027 .
3. Schwartz, MD (2014). "7". Teoría cuántica de campos y el modelo estándar . Cambridge University Press. págs. 96-97. ISBN 9781107034730.
4. Weinberg, S. (1995). "4". La teoría cuántica de campos: fundamentos . Vol. 1. Cambridge University Press. págs. 177–188. ISBN 9780521670531.
5. Bogolubov, NN ; Logunov, AA ; Todorov, TI (1975). Introducción a la teoría cuántica de campos axiomática . Traducido por Fulling, SA ; Popova, LG (1 ed.). Benjamín. págs. 272–282. ISBN 9780805309829.
6. Iagolnitzer, D. (1993). "3". Dispersión en las teorías cuánticas de campos: enfoques axiomático y constructivo . Princeton University Press. págs. 155-156. ISBN 9780691633282.
7. Brown, LS (1992). "6". Teoría cuántica de campos . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 311–313. doi :10.1017/CBO9780511622649. ISBN . 978-0521469463.
8. Bain, J. (1998). "Weinberg sobre Qft: inducción demostrativa y subdeterminación". Síntesis . 117 (1): 7–8. doi :10.1023/A:1005025424031. JSTOR  20118095. S2CID  9049200.
9. Weinberg, S. (1995). "19". La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas . Vol. 2. Cambridge University Press. pág. 167. ISBN 9780521670548.
10. Streater, RF ; Wightman, AS (2000) [1964]. "3". PCT, Spin and Statistics, and All That . Princeton: Princeton University Press. pág. 113. ISBN 978-0691070629.