Teorema de comparación de Sturm-Picone

En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de comparación de Sturm-Picone , llamado así en honor a Jacques Charles François Sturm y Mauro Picone , es un teorema clásico que proporciona criterios para la oscilación y no oscilación de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales lineales en el dominio real.

Sean p _i , q _i para i  = 1, 2 funciones continuas de valor real en el intervalo [ a ,  b ] y sea

1. ${\displaystyle (p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0}$
2. ${\displaystyle (p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0}$

sean dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden en forma autoadjunta con

${\displaystyle 0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)}$

y

${\displaystyle q_{1}(x)\leq q_{2}(x).}$

Sea u una solución no trivial de (1) con raíces sucesivas en z ₁ y z ₂ y sea v una solución no trivial de (2). Entonces se cumple una de las siguientes propiedades.

• Existe una x en ( z ₁ ,  z ₂ ) tal que v ( x ) = 0; o
• existe una λ en R tal que v ( x ) = λ  u ( x ) .

La primera parte de la conclusión se debe a Sturm (1836), ^[1] mientras que la segunda parte (alternativa) del teorema se debe a Picone (1910) ^{[2] [3]} cuya sencilla demostración se dio utilizando su ahora famosa identidad de Picone . En el caso especial en que ambas ecuaciones son idénticas se obtiene el teorema de separación de Sturm . ^[4]

Notas

1. C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
2. M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione diferenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Norma de la escuela. Pisa 11 (1909), 1–141.
3. Hinton, D. (2005). "Resultados de la oscilación de Sturm de 1836: evolución de la teoría". Teoría de Sturm-Liouville . págs. 1–27. doi :10.1007/3-7643-7359-8_1. ISBN 3-7643-7066-1.
4. Para una extensión de este importante teorema a un teorema de comparación que involucra tres o más ecuaciones reales de segundo orden, consulte el teorema de comparación de Hartman-Mingarelli, donde se proporcionó una prueba simple utilizando la identidad de Mingarelli.

Referencias

• Diaz, JB; McLaughlin, Joyce R. Teoremas de comparación de Sturm para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 335–339 [1]
• Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable , página 79, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 . 
• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.