En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de comparación de Sturm-Picone , llamado así en honor a Jacques Charles François Sturm y Mauro Picone , es un teorema clásico que proporciona criterios para la oscilación y no oscilación de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales lineales en el dominio real.
Sean p i , q i para i = 1, 2 funciones continuas de valor real en el intervalo [ a , b ] y sea
sean dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden en forma autoadjunta con
y
Sea u una solución no trivial de (1) con raíces sucesivas en z 1 y z 2 y sea v una solución no trivial de (2). Entonces se cumple una de las siguientes propiedades.
- Existe una x en ( z 1 , z 2 ) tal que v ( x ) = 0; o
- existe una λ en R tal que v ( x ) = λ u ( x ) .
La primera parte de la conclusión se debe a Sturm (1836), [1] mientras que la segunda parte (alternativa) del teorema se debe a Picone (1910) [2] [3] cuya sencilla demostración se dio utilizando su ahora famosa identidad de Picone . En el caso especial en que ambas ecuaciones son idénticas se obtiene el teorema de separación de Sturm . [4]
Notas
- ^ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
- ^ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione diferenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Norma de la escuela. Pisa 11 (1909), 1–141.
- ^ Hinton, D. (2005). "Resultados de la oscilación de Sturm de 1836: evolución de la teoría". Teoría de Sturm-Liouville . págs. 1–27. doi :10.1007/3-7643-7359-8_1. ISBN 3-7643-7066-1.
- ^ Para una extensión de este importante teorema a un teorema de comparación que involucra tres o más ecuaciones reales de segundo orden, consulte el teorema de comparación de Hartman-Mingarelli, donde se proporcionó una prueba simple utilizando la identidad de Mingarelli.
Referencias