Teorema de Wiener-Lévy

Teorema sobre la convergencia de las series de Fourier

El teorema de Wiener-Lévy es un teorema del análisis de Fourier que establece que una función de una serie de Fourier absolutamente convergente tiene una serie de Fourier absolutamente convergente en determinadas condiciones. El teorema debe su nombre a Norbert Wiener y Paul Lévy .

Norbert Wiener fue el primero en demostrar el teorema 1/ f de Wiener , ^[1] véase Teorema de Wiener . Este afirma que si f tiene una serie de Fourier absolutamente convergente y nunca es cero, entonces su inversa 1/ f también tiene una serie de Fourier absolutamente convergente.

Teorema de Wiener-Levy

Paul Levy generalizó el resultado de Wiener, ^[2] mostrando que

Sea una serie de Fourier absolutamente convergente con ${\displaystyle F(\theta )=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ik\theta },\quad \theta \in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \|F\|=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }|c_{k}|<\infty .}$

Los valores de se encuentran en una curva , y es una función analítica (no necesariamente univaluada) de una variable compleja que es regular en cada punto de . Entonces tiene una serie de Fourier absolutamente convergente. ${\displaystyle F(\theta )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H[F(\theta )]}$

La prueba se puede encontrar en el clásico libro de Zygmund Series trigonométricas . ^[3]

Ejemplo

Sea y ) función característica de distribución de probabilidad discreta. Por lo tanto, es una serie de Fourier absolutamente convergente. Si no tiene ceros, entonces tenemos ${\displaystyle H(\theta )=\ln(\theta )}$ ${\displaystyle F(\theta )=\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}e^{ik\theta },(\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}=1}$ ${\displaystyle F(\theta )}$ ${\displaystyle F(\theta )}$

${\displaystyle H[F(\theta )]=\ln \left(\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}e^{ik\theta }\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}e^{ik\theta },}$

dónde ${\displaystyle \|H\|=\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|<\infty .}$

La aplicación estadística de este ejemplo se puede encontrar en la distribución de Poisson pseudocompuesta discreta ^[4] y en el modelo de cero inflado .

Si una variable aleatoria discreta con , , tiene la función generadora de probabilidad de la forma ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Pr(X=i)=P_{i}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle P(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P_{i}z^{i}=\exp \left\{\sum \limits _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\lambda (z^{i}-1)\right\},z=e^{ik\theta }}$

donde , , , y . Entonces se dice que tiene la distribución de Poisson pseudocompuesta discreta, abreviada DPCP. ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$ ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\alpha _{i}\right|<\infty }$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle X}$

Lo denotamos como . ${\displaystyle X\sim DPCP({\alpha _{1}}\lambda ,{\alpha _{2}}\lambda ,\cdots )}$

Véase también

• Teorema de Wiener (desambiguación)

Referencias

1. Wiener, N. (1932). "Teoremas de Tauber". Anales de Matemáticas . 33 (1): 1–100. doi :10.2307/1968102. JSTOR  1968102.
2. Levy, P. (1935). "Sobre la convergencia absoluta de la serie de Fourier". Composición Matemática . 1 : 1–14.
3. Zygmund, A. (2002). Series trigonométricas . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 245.
4. Huiming, Zhang; Li, Bo; G. Jay Kerns (2017). "Una caracterización de distribuciones discretas infinitamente divisibles con signo". Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica . 54 : 446–470. arXiv : 1701.03892 . doi :10.1556/012.2017.54.4.1377.