Teorema de Tellegen

El teorema de Tellegen es uno de los teoremas más poderosos en la teoría de redes . La mayoría de los teoremas de distribución de energía y principios de extremos en la teoría de redes se pueden derivar de él. Fue publicado en 1952 por Bernard Tellegen . ^[1] Fundamentalmente, el teorema de Tellegen da una relación simple entre magnitudes que satisfacen las leyes de Kirchhoff de la teoría de circuitos eléctricos .

El teorema de Tellegen es aplicable a una multitud de sistemas de redes. Los supuestos básicos para los sistemas son la conservación del flujo de cantidades extensivas ( ley de corriente de Kirchhoff , LCK) y la unicidad de los potenciales en los nodos de la red ( ley de voltaje de Kirchhoff , LTK). El teorema de Tellegen proporciona una herramienta útil para analizar sistemas de redes complejos, incluidos circuitos eléctricos, redes biológicas y metabólicas , redes de transporte por tuberías y redes de procesos químicos .

El teorema

Considere una red agrupada arbitraria que tiene ramas y nodos. En una red eléctrica, las ramas son componentes de dos terminales y los nodos son puntos de interconexión. Suponga que a cada rama le asignamos arbitrariamente una diferencia de potencial de rama y una corriente de rama para , y supongamos que se miden con respecto a direcciones de referencia asociadas elegidas arbitrariamente . Si las diferencias de potencial de rama satisfacen todas las restricciones impuestas por la LTK y si las corrientes de rama satisfacen todas las restricciones impuestas por la LCK, entonces ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,b}$ ${\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}$

El teorema de Tellegen es extremadamente general; es válido para cualquier red concentrada que contenga elementos cualesquiera, lineal o no lineal , pasivo o activo , variable en el tiempo o invariante en el tiempo . La generalidad se extiende cuando y son operaciones lineales sobre el conjunto de diferencias de potencial y sobre el conjunto de corrientes de rama (respectivamente) ya que las operaciones lineales no afectan a la LTK y la LCK. Por ejemplo, la operación lineal puede ser la media o la transformada de Laplace . De manera más general, los operadores que preservan la LTK se denominan operadores de tensión de Kirchhoff, los operadores que preservan la LCK se denominan operadores de corriente de Kirchhoff y los operadores que preservan ambos se denominan simplemente operadores de Kirchhoff. Estos operadores no necesitan ser necesariamente lineales para que se cumpla el teorema de Tellegen. ^[2] ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle F_{k}}$

El conjunto de corrientes también se puede muestrear en un momento diferente del conjunto de diferencias de potencial, ya que la LVK y la LCK son verdaderas en todos los instantes del tiempo. Otra extensión es cuando el conjunto de diferencias de potencial proviene de una red y el conjunto de corrientes proviene de una red completamente diferente, siempre que las dos redes tengan la misma topología (misma matriz de incidencia ), el teorema de Tellegen sigue siendo verdadero. Esta extensión del teorema de Tellegen conduce a muchos teoremas relacionados con redes de dos puertos. ^[3] ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle F_{k}}$

Definiciones

Necesitamos introducir algunas definiciones de red necesarias para proporcionar una prueba compacta.

Matriz de incidencia: La matriz se denomina matriz de incidencia de nodo a rama para los elementos de la matriz que son ${\displaystyle n\times b}$ ${\displaystyle \mathbf {A_{a}} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{if current in branch }}j{\text{ leaves node }}i\\-1,&{\text{if current in branch }}j{\text{ enters node }}i\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Se introduce un nodo de referencia o de referencia para representar el entorno y se conecta con todos los nodos y terminales dinámicos. La matriz donde se elimina la fila que contiene los elementos del nodo de referencia se denomina matriz de incidencia reducida. ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle (n-1)\times b}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{0j}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

Las leyes de conservación (LKC) en forma matricial-vectorial:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

La condición de unicidad para los potenciales (KVL) en forma vectorial-matriz:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }$

¿Dónde están los potenciales absolutos en los nodos hasta el nodo de referencia ? ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

Prueba

Usando KVL:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}}$

Porque por KCL. Entonces: ${\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}$

Aplicaciones

Se han construido análogos de redes para una amplia variedad de sistemas físicos y han demostrado ser extremadamente útiles para analizar su comportamiento dinámico. El área de aplicación clásica de la teoría de redes y del teorema de Tellegen es la teoría de circuitos eléctricos. Se utiliza principalmente para diseñar filtros en aplicaciones de procesamiento de señales.

Una aplicación más reciente del teorema de Tellegen se encuentra en el área de los procesos químicos y biológicos. Las suposiciones para circuitos eléctricos (leyes de Kirchhoff) se generalizan para sistemas dinámicos que obedecen las leyes de la termodinámica irreversible. La topología y la estructura de las redes de reacción (mecanismos de reacción, redes metabólicas) se pueden analizar utilizando el teorema de Tellegen.

Otra aplicación del teorema de Tellegen es determinar la estabilidad y optimalidad de sistemas de procesos complejos, como plantas químicas o sistemas de producción de petróleo. El teorema de Tellegen se puede formular para sistemas de procesos que utilizan nodos de proceso, terminales, conexiones de flujo y que permiten sumideros y fuentes para la producción o destrucción de grandes cantidades.

Una formulación para el teorema de Tellegen de sistemas de procesos:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

¿Dónde están los términos de producción, son las conexiones terminales y son los términos de almacenamiento dinámico para las variables extensivas? ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle t_{j}}$ ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}$

Referencias

Referencias en línea

1. Tellegen, BDH (1952). "Un teorema general de redes con aplicaciones". Philips Research Reports . 7 : 259–269.
2. Penfield, P. (1970). "Una forma generalizada del teorema de Tellegen" (PDF) . IEEE Transactions on Circuit Theory . CT-17: 302–305 . Consultado el 8 de noviembre de 2016 .
3. Teorema de Tellegen y redes eléctricas por Paul Penfield, Jr., Robert Spence y Simon Duinker, The MIT Press, Cambridge, MA, 1970

Referencias generales

• Teoría básica de circuitos por CA Desoer y ES Kuh, McGraw-Hill, Nueva York, 1969
• "Teorema de Tellegen y desigualdades termodinámicas", GF Oster y CA Desoer, J. Theor. Biol 32 (1971), 219–241
• "Métodos de red en modelos de producción", Donald Watson, Networks , 10 (1980), 1–15

Enlaces externos

• Ejemplo de circuito para el teorema de Tellegen
• GF Oster y CA Desoer, Teorema de Tellegen y desigualdades termodinámicas
• Termodinámica de redes