En matemáticas , específicamente en geometría de Riemann , el teorema de Synge es un resultado clásico que relaciona la curvatura de una variedad de Riemann con su topología . Recibe su nombre en honor a John Lighton Synge , quien lo demostró en 1936.
Sea M una variedad riemanniana cerrada con curvatura seccional positiva . El teorema afirma:
En particular, una variedad cerrada de dimensión par puede soportar una métrica riemanniana curvada positivamente sólo si su grupo fundamental tiene uno o dos elementos.
La prueba del teorema de Synge se puede resumir de la siguiente manera. [1] Dada una geodésica S 1 → M con un campo vectorial ortogonal y paralelo a lo largo de la geodésica (es decir, una sección paralela del fibrado normal a la geodésica), entonces el cálculo anterior de Synge de la segunda fórmula de variación para la longitud de arco muestra inmediatamente que la geodésica puede deformarse de modo de acortar su longitud. La única herramienta utilizada en esta etapa es el supuesto de curvatura seccional.
La construcción de un campo vectorial paralelo a lo largo de cualquier trayectoria es automática mediante transporte paralelo ; la no trivialidad en el caso de un bucle es si los valores en los puntos finales coinciden. Esto se reduce a un problema de álgebra lineal pura : sea V un espacio de producto interior real de dimensión finita con T : V → V una función lineal ortogonal con un vector propio v con valor propio uno. Si el determinante de T es positivo y la dimensión de V es par, o alternativamente si el determinante de T es negativo y la dimensión de V es impar, entonces hay un vector propio w de T con valor propio uno que es ortogonal a v . En contexto, V es el espacio tangente a M en un punto de un bucle geodésico, T es la función de transporte paralelo definida por el bucle y v es el vector tangente a la geodésica.
Dado cualquier bucle no contráctil en una variedad riemanniana completa, existe un representante de su clase de homotopía (libre) que tiene la mínima longitud de arco posible, y es una geodésica. [2] Según el cálculo de Synge, esto implica que no puede haber un campo vectorial paralelo y ortogonal a lo largo de esta geodésica. Sin embargo:
Esta contradicción establece la inexistencia de bucles no contráctiles en el primer caso, y la imposibilidad de no orientabilidad en el segundo caso.
Posteriormente, Alan Weinstein reformuló la prueba para establecer puntos fijos de isometrías , en lugar de propiedades topológicas de la variedad subyacente. [3]
Fuentes.