En la teoría aditiva y algebraica de números , el teorema de Skolem-Mahler-Lech establece que si una secuencia de números satisface una ecuación diferencial lineal , entonces, con un número finito de excepciones, las posiciones en las que la secuencia es cero forman un patrón que se repite regularmente. Este resultado recibe su nombre en honor a Thoralf Skolem (quien demostró el teorema para secuencias de números racionales ), Kurt Mahler (quien lo demostró para secuencias de números algebraicos ) y Christer Lech (quien lo demostró para secuencias cuyos elementos pertenecen a cualquier cuerpo de característica 0). Sus demostraciones conocidas utilizan el análisis p -ádico y no son constructivas .
Sea una secuencia de números complejos que satisface para todos , donde son constantes de números complejos (es decir, una secuencia recursiva constante de orden ). Entonces el conjunto de ceros es igual a la unión de un conjunto finito y un número finito de progresiones aritméticas .
Si tenemos (excluyendo secuencias tales como 1, 0, 0, 0, ...), entonces el conjunto de ceros de hecho es igual a la unión de un conjunto finito y un número finito de progresiones aritméticas completas , donde una progresión aritmética infinita es completa si existen números enteros a y b tales que la progresión consiste en todos los números enteros positivos iguales a b módulo a .
Considere la secuencia
que alterna entre ceros y números de Fibonacci . Esta secuencia se puede generar mediante la relación de recurrencia lineal (una forma modificada de la recurrencia de Fibonacci), a partir de los casos base F (1) = F (2) = F (4) = 0 y F (3) = 1. Para esta secuencia, F ( i ) = 0 si y solo si i es uno o par. Por lo tanto, las posiciones en las que la secuencia es cero se pueden dividir en un conjunto finito (el conjunto singleton {1}) y una progresión aritmética completa (los números pares positivos ).
En este ejemplo, solo se necesitó una progresión aritmética, pero otras secuencias de recurrencia pueden tener ceros en posiciones que forman múltiples progresiones aritméticas.
El problema de Skolem consiste en determinar si una secuencia de recurrencia dada tiene un cero. Existe un algoritmo para comprobar si hay infinitos ceros [1] y, en caso afirmativo, para encontrar la descomposición de estos ceros en conjuntos periódicos cuya existencia está garantizada por el teorema de Skolem-Mahler-Lech. Sin embargo, se desconoce si existe un algoritmo para determinar si una secuencia de recurrencia tiene ceros no periódicos [2] .
