Teorema de Saint-Venant

En mecánica de sólidos , es común analizar las propiedades de vigas con sección transversal constante. El teorema de Saint-Venant establece que la sección transversal simplemente conexa con máxima rigidez torsional es un círculo. ^[1] Recibe su nombre en honor al matemático francés Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant .

Dado un dominio simplemente conexo D en el plano con área A , el radio y el área de su mayor círculo inscrito, la rigidez torsional P de D está definida por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle P=4\sup _{f}{\frac {\left(\iint \limits _{D}f\,dx\,dy\right)^{2}}{\iint \limits _{D}{f_{x}}^{2}+{f_{y}}^{2}\,dx\,dy}}.}$

Aquí se toma el supremo sobre todas las funciones continuamente diferenciables que se desvanecen en el límite de D. La existencia de este supremo es una consecuencia de la desigualdad de Poincaré .

Saint-Venant ^[2] conjeturó en 1856 que de todos los dominios D de igual área A, el circular tiene la mayor rigidez torsional, es decir

${\displaystyle P\leq P_{\text{circle}}\leq {\frac {A^{2}}{2\pi }}.}$

Una prueba rigurosa de esta desigualdad no fue dada hasta 1948 por Pólya . ^[3] Otra prueba fue dada por Davenport y reportada en. ^[4] Una prueba más general y una estimación

${\displaystyle P<4\rho ^{2}A}$

Está dado por Makai. ^[1]

Notas

1. E. Makai, Una prueba del teorema de Saint-Venant sobre rigidez torsional, Acta Mathematica Hungarica , Volumen 17, Números 3-4 / Septiembre, 419-422, 1966 doi :10.1007/BF01894885
2. A JC Barre de Saint-Venant, conocido popularmente como संत वनंत Mémoire sur la torsion des prismes, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, 14 (1856), págs.
3. G. Pólya, Rigidez torsional, frecuencia principal, capacidad electrostática y simetrización, Quarterly of Applied Math., 6 (1948), págs. 267, 277.
4. G. Pólya y G. Szegő, Desigualdades isoperimétricas en física matemática (Princeton Univ.Press, 1951).