grupo cremona

En geometría algebraica , el grupo de Cremona , introducido por Cremona  (1863, 1865), es el grupo de automorfismos birracionales del espacio proyectivo -dimensional sobre un campo . Se denota por o o . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))}$ ${\displaystyle Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))}$ ${\displaystyle Cr_{n}(k)}$

El grupo de Cremona se identifica naturalmente con el grupo de automorfismos del campo de las funciones racionales en indeterminados sobre , o en otras palabras, una pura extensión trascendental de , con grado de trascendencia . ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

El grupo lineal general proyectivo de orden , de transformaciones proyectivas , está contenido en el grupo de orden de Cremona . Los dos son iguales sólo cuando o , en cuyo caso tanto el numerador como el denominador de una transformación deben ser lineales. ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1}$

El grupo Cremona en 2 dimensiones

En dos dimensiones, Max Noether y Guido Castelnuovo demostraron que el complejo grupo de Cremona se genera mediante la transformación cuadrática estándar, junto con , aunque hubo cierta controversia sobre si sus pruebas eran correctas, y Gizatullin (1983) proporcionó un conjunto completo de relaciones para estos generadores. La estructura de este grupo aún no se comprende bien, aunque se ha trabajado mucho para encontrar elementos o subgrupos del mismo. ${\displaystyle \mathrm {PGL} (3,k)}$

• Cantat y Lamy (2010) demostraron que el grupo de Cremona no es simple como grupo abstracto;
• Blanc demostró que no tiene subgrupos normales no triviales que también estén cerrados en una topología natural.
• Para los subgrupos finitos del grupo de Cremona, consulte Dolgachev & Iskovskikh (2009).

El grupo Cremona en dimensiones superiores

Se sabe poco sobre la estructura del grupo de Cremona en tres dimensiones y superiores, aunque se han descrito muchos elementos del mismo. Blanc (2010) demostró que está (linealmente) conectado, respondiendo a una pregunta de Serre (2010). No existe un análogo fácil del teorema de Noether-Castelnouvo, ya que Hudson (1927) demostró que el grupo de Cremona en dimensión al menos 3 no se genera por sus elementos de grado acotados por ningún número entero fijo.

Grupos de Jonquières

Un grupo De Jonquières es un subgrupo de un grupo Cremona de la siguiente forma ^{[ cita requerida ]} . Elija una base de trascendencia para una extensión de campo de . Entonces, un grupo de De Jonquières es el subgrupo de automorfismos de mapear el subcampo en sí mismo para algunos . Tiene un subgrupo normal dado por el grupo Cremona de automorfismos de sobre el campo , y el grupo cociente es el grupo Cremona de sobre el campo . También puede considerarse como el grupo de automorfismos birracionales del haz de fibras . ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ ${\displaystyle r\leq n}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}}$

Cuando y el grupo de De Jonquières es el grupo de transformaciones de Cremona que fijan un lápiz de rectas por un punto dado, y es el producto semidirecto de y . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k(t))}$

Referencias

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• Blanc, Jérémy (2010), "Groupes de Cremona, connexité et simplicité", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 43 (2): 357–364, arXiv : 0903.2489 , doi : 10.24033/asens.2123 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  2662668
• Cantat, Serge; Lamy, Stéphane (2010). "Subgrupos normales del grupo de Cremona". Acta Matemática . 210 (2013): 31–94. arXiv : 1007.0895 . Código Bib : 2010arXiv1007.0895C. doi :10.1007/s11511-013-0090-1. S2CID  55261367.
• Coolidge, Julian Lowell (1931), Tratado sobre curvas planas algebraicas, Oxford University Press , ISBN 978-0-486-49576-7, SEÑOR  0120551
• Cremona, L. (1863), "Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane", Giornale di Matematiche di Battaglini , 1 : 305–311
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• Demazure, Michel (1970), "Sous-groupes algébriques de rang maxime du groupe de Cremona", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 3 (4): 507–588, doi : 10.24033/asens.1201 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  0284446
• Dolgachev, Igor V. (2012), Geometría algebraica clásica: una visión moderna (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8, archivado desde el original (PDF) el 11 de marzo de 2012 , consultado el 18 de abril de 2012
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• Godeaux, Lucien (1927), Les transformaciones birationelles du plan , Mémorial des sciences mathématiques, vol. 22, Gauthier-Villars et Cie, JFM  53.0595.02
• "Grupo Cremona", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Transformación de Cremona", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hudson, Hilda Phoebe (1927), Transformaciones de Cremona en el plano y el espacio, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35882-8, reimpreso en 2012
• Simple, JG; Roth, L. (1985), Introducción a la geometría algebraica , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4, señor  0814690
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• Serre, Jean-Pierre (2010), "Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis" (PDF) , Astérisque , Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4, ISSN  0303-1179, SEÑOR  2648675