Los primeros tres pasos de la construcción de la curva de Hilbert , una curva que llena el espacio y que según el teorema de Netto tiene muchas autointerseccionesUna curva de Osgood , sin autointersecciones. Según el teorema de Netto, es imposible que dicha curva cubra por completo cualquier región bidimensional.
Jacob Lüroth demostró el caso de los mapas de una variedad de dimensiones superiores a una variedad unidimensional en 1878, utilizando el teorema del valor intermedio para demostrar que ninguna variedad que contenga un círculo topológico puede mapearse de manera continua y biyectiva a la línea real . Tanto Netto en 1878 como Georg Cantor en 1879 dieron demostraciones erróneas del teorema general. Posteriormente los fallos fueron reconocidos y corregidos. [2]
Un caso especial importante de este teorema se refiere a la inexistencia de biyecciones continuas desde espacios unidimensionales, como la línea real o el intervalo unitario , a espacios bidimensionales, como el plano euclidiano o el cuadrado unitario . Las condiciones del teorema se pueden relajar de diferentes maneras para obtener interesantes clases de funciones desde espacios unidimensionales hasta espacios bidimensionales:
Las curvas que llenan el espacio son funciones continuas sobreyectivas desde espacios unidimensionales hasta espacios bidimensionales. Cubren cada punto del plano, o de un cuadrado unitario, mediante la imagen de una línea o de un intervalo unitario. Los ejemplos incluyen la curva de Peano y la curva de Hilbert . Ninguno de estos ejemplos tiene autocruces, pero según el teorema de Netto hay muchos puntos del cuadrado que están cubiertos varias veces por estas curvas. [1]
Las curvas de Osgood son biyecciones continuas desde espacios unidimensionales a subconjuntos del plano que tienen un área distinta de cero . Forman curvas de Jordan en el plano. Sin embargo, según el teorema de Netto, no pueden cubrir todo el plano, el cuadrado unitario ni ninguna otra región bidimensional . [1]
Si uno relaja el requisito de continuidad, entonces todas las variedades suaves de dimensión limitada tienen igual cardinalidad , la cardinalidad del continuo . Por lo tanto, existen biyecciones discontinuas entre dos de ellas, como lo demostró Georg Cantor en 1878. [2] [3] El resultado de Cantor fue una sorpresa para muchos matemáticos e inició la línea de investigación que condujo a las curvas que llenan el espacio, las curvas de Osgood. y el teorema de Netto. [2] Se puede obtener una casi biyección del cuadrado unitario al intervalo unitario entrelazando los dígitos de las representaciones decimales de las coordenadas cartesianas de los puntos del cuadrado. Las ambigüedades del decimal, ejemplificadas por las dos representaciones decimales de 1 = 0,999... , hacen que se trate de una inyección en lugar de una biyección, pero este problema se puede solucionar utilizando el teorema de Schröder-Bernstein . [3]
Referencias
^ abc Sagan, Hans (1994), Curvas que llenan el espacio, Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, señor 1299533. Para conocer el enunciado del teorema y los antecedentes históricos, consulte el Teorema 1.3, p. 6. Para su demostración para el caso de biyecciones entre el intervalo unitario y un conjunto bidimensional, consulte la Sección 6.4, "Demostración del teorema de Netto", págs. 97–98. Para conocer la aplicación del teorema de Netto a las autointersecciones de curvas que llenan el espacio y a las curvas de Osgood, consulte el Capítulo 8, "Curvas de Jordan de medida positiva de Lebesgue", págs.
^ abc Dauben, Joseph W. (1975), "La invariancia de la dimensión: problemas en el desarrollo temprano de la teoría y la topología de conjuntos", Historia Mathematica , 2 : 273–288, doi : 10.1016/0315-0860(75)90066- X , SEÑOR 0476319
^ ab Gouvêa, Fernando Q. (2011), "¿Se sorprendió Cantor?", The American Mathematical Monthly , 118 (3): 198–209, doi :10.4169/amer.math.monthly.118.03.198, JSTOR 10.4169/amer .matemáticas.mensual.118.03.198, MR 2800330
