No se puede diseccionar un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área.
En geometría , el teorema de Monsky establece que no es posible diseccionar un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área. [1] En otras palabras, un cuadrado no tiene una equidisección impar .
Un cuadrado se puede dividir en un número par de triángulos de igual área (izquierda), pero en un número impar de triángulos de áreas aproximadamente iguales (derecha).
Consideremos como cuadrado el cuadrado unitario con vértices en (0, 0), (0, 1), (1, 0) y (1, 1). Si hay una disección en n triángulos de igual área, entonces el área de cada triángulo es 1/ n .
Colorea cada punto del cuadrado con uno de tres colores, dependiendo de la valoración 2-ádica de sus coordenadas.
Demuestre que una línea recta puede contener puntos de solo dos colores.
Utilice el lema de Sperner para demostrar que cada triangulación del cuadrado en triángulos que se encuentran borde con borde debe contener al menos un triángulo cuyos vértices tengan tres colores diferentes.
Concluya de la propiedad de la línea recta que también debe existir un triángulo tricolor en cada disección del cuadrado en triángulos, no necesariamente encontrándose borde con borde.
Utilice la geometría cartesiana para demostrar que la valoración 2-ádica del área de un triángulo cuyos vértices tienen tres colores diferentes es mayor que 1. Por lo tanto, cada disección del cuadrado en triángulos debe contener al menos un triángulo cuyo área tenga una valoración 2-ádica mayor que 1.
Si n es impar, entonces la valoración 2-ádica de 1/ n es 1, por lo que es imposible diseccionar el cuadrado en triángulos, todos los cuales tienen área 1/ n . [5]
Disecciones óptimas
Según el teorema de Monsky, es necesario tener triángulos con áreas diferentes para diseccionar un cuadrado en un número impar de triángulos. Se han estudiado los límites inferiores para las diferencias de área que deben darse para diseccionar un cuadrado en un número impar de triángulos y las disecciones óptimas. [6] [7] [8]
Generalizaciones
El teorema se puede generalizar a dimensiones superiores: un hipercubo n -dimensional sólo se puede dividir en símplices de igual volumen si el número de símplices es un múltiplo de n !. [2]
^ ab Xu, Moor (4 de abril de 2012). Lema de Sperner (PDF) (Informe técnico). Universidad de California, Berkeley.
^ Monsky, P. (1970). "Sobre la división de un cuadrado en triángulos". The American Mathematical Monthly . 77 (2): 161–164. doi :10.2307/2317329. JSTOR 2317329. MR 0252233.
^ Stein, S. (2004). Kleber, M.; Vakil, R. (eds.). "Corte de un polígono en triángulos de áreas iguales". The Mathematical Intelligencer . 26 : 17–21. doi :10.1007/BF02985395. S2CID 117930135.
^ Verrill, HA (8 de septiembre de 2004). "Disección de un cuadrado en triángulos" (PDF) . Universidad Estatal de Luisiana. Archivado desde el original (PDF) el 18 de agosto de 2010. Consultado el 18 de agosto de 2010 .
^ Mansow, K. (2003), Ungerade Triangulierungen eines Quadrats von kleiner Diskrepanz (en. Triangulaciones extrañas de un cuadrado de pequeña discrepancia) (Diplomarbeit), Alemania: TU Berlin.
^ Schulze, Bernd (1 de julio de 2011). "Sobre la discrepancia de área de triangulaciones de cuadrados y trapecios". Revista Electrónica de Combinatoria . 18 (1): #P137. doi : 10.37236/624 . Zbl 1222.52017.
^ Labbé, Jean-Philippe; Rote, Günter; Ziegler, Günter M. (2018). "Límites de diferencia de área para disecciones de un cuadrado en un número impar de triángulos". Experimental Mathematics . 29 (3): 1–23. arXiv : 1708.02891 . doi :10.1080/10586458.2018.1459961. S2CID 3995120.
