Teorema de Kneser (ecuaciones diferenciales)

Teorema matemático

En matemáticas , el teorema de Kneser puede referirse a dos teoremas distintos en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias :

• El primero, llamado así por Adolf Kneser , proporciona criterios para decidir si una ecuación diferencial es oscilante o no;
• El otro, llamado así por Hellmuth Kneser , trata de la topología del conjunto de todas las soluciones de un problema de valor inicial con lado derecho continuo.

Enunciado del teorema de A. Kneser

Consideremos una ecuación diferencial homogénea lineal ordinaria de la forma

${\displaystyle y''+q(x)y=0}$

con

${\displaystyle q:[0,+\infty )\to \mathbb {R} }$

continua . Decimos que esta ecuación es oscilante si tiene una solución y con infinitos ceros, y no oscilante en caso contrario.

El teorema establece ^[1] que la ecuación no es oscilante si

${\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)<{\tfrac {1}{4}}}$

y oscilante si

${\displaystyle \liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)>{\tfrac {1}{4}}.}$

Ejemplo

Para ilustrar el teorema consideremos

${\displaystyle q(x)=\left({\frac {1}{4}}-a\right)x^{-2}\quad {\text{for}}\quad x>0}$

donde es real y distinto de cero. Según el teorema, las soluciones serán oscilantes o no dependiendo de si es positiva (no oscilante) o negativa (oscilante) porque ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)=\liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)={\frac {1}{4}}-a}$

Para encontrar las soluciones para esta elección de , y verificar el teorema para este ejemplo, sustituya el 'Ansatz' ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle y(x)=x^{n}}$

Lo cual da

${\displaystyle n(n-1)+{\frac {1}{4}}-a=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-a=0}$

Esto significa que (para valores distintos de cero ) la solución general es ${\displaystyle a}$

${\displaystyle y(x)=Ax^{{\frac {1}{2}}+{\sqrt {a}}}+Bx^{{\frac {1}{2}}-{\sqrt {a}}}}$

donde y son constantes arbitrarias. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

No es difícil ver que para los positivos las soluciones no oscilan mientras que para los negativos la identidad ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=-\omega ^{2}}$

${\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}\pm i\omega }={\sqrt {x}}\ e^{\pm (i\omega )\ln {x}}={\sqrt {x}}\ (\cos {(\omega \ln x)}\pm i\sin {(\omega \ln x)})}$

demuestra que lo hacen.

El resultado general se desprende de este ejemplo mediante el teorema de comparación de Sturm-Picone .

Extensiones

Hay muchas extensiones de este resultado, como el criterio de Gesztesy-Ünal. ^[2]

Enunciado del teorema de H. Kneser

Mientras que el teorema de existencia de Peano garantiza la existencia de soluciones de ciertos problemas con valores iniciales y un lado derecho continuo, el teorema de H. Kneser trata de la topología del conjunto de esas soluciones. Precisamente, el teorema de H. Kneser enuncia lo siguiente: ^{[3] [4]}

Sea una función continua en la región , y tal que para todo . ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=[t_{0},t_{0}+a]\times \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\Vert x-x_{0}\Vert \leq b\}}$ ${\displaystyle |f(t,x)|\leq M}$ ${\displaystyle (t,x)\in {\mathcal {R}}}$

Dado un número real que satisface , defina el conjunto como el conjunto de puntos para los cuales existe una solución de tal que y . Entonces es un conjunto cerrado y conexo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t_{0}<c\leq t_{0}+\min(a,b/M)}$ ${\displaystyle S_{c}}$ ${\displaystyle x_{c}}$ ${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=f(t,x)}$ ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ ${\displaystyle x(c)=x_{c}}$ ${\displaystyle S_{c}}$

Referencias

1. Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
2. Krüger, Helge; Teschl, Gerald (2008). "Ángulos de Prüfer efectivos y criterios de oscilación relativa". Revista de Ecuaciones Diferenciales . 245 (12): 3823–3848. arXiv : 0709.0127 . Código Bib : 2008JDE...245.3823K. doi :10.1016/j.jde.2008.06.004. S2CID  6693175.
3. Hofmann, Karl H.; Betsch, Gerhard, eds. (31 de enero de 2005), "Über die Lösungen eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen, das der Lipschitzschen Bedingung nicht genügt [7–23]", Gesammelte Abhandlungen / Collected Papers , Berlín, Nueva York: DE GRUYTER, págs. 58–61, doi :10.1515/9783110894516.58, ISBN 978-3-11-089451-6, consultado el 21 de enero de 2023
4. Hartman, Philip (2002). Ecuaciones diferenciales ordinarias (segunda edición). Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. doi :10.1137/1.9780898719222.ch2. ISBN 978-0-89871-510-1.