Teorema de König (cinética)

En cinética , el teorema de König o descomposición de König es una relación matemática derivada por Johann Samuel König que ayuda con los cálculos del momento angular y la energía cinética de cuerpos y sistemas de partículas.

Para un sistema de partículas

El teorema se divide en dos partes.

Primera parte del teorema de König

La primera parte expresa el momento angular de un sistema como la suma del momento angular del centro de masa y el momento angular aplicado a las partículas en relación con el centro de masa . ^[1]

${\displaystyle \displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{CoM}+{\vec {L}}'={\vec {L}}_{CoM}+{\vec {L}}'}$

Prueba

Considerando un marco de referencia inercial con origen O, el momento angular del sistema se puede definir como:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i})}$

La posición de una sola partícula se puede expresar como:

${\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}'_{i}}$

Y así podemos definir la velocidad de una sola partícula:

${\displaystyle {\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}'_{i}}$

La primera ecuación se convierte en:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}'_{i})\times m_{i}({\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}'_{i})}$

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}'_{i}\times m_{i}{\vec {v}}'_{i}+\left(\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}'_{i}\right)\times {\vec {v}}_{CoM}+{\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}+\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{CoM}\times m_{i}{\vec {v}}_{CoM}}$

Pero los siguientes términos son iguales a cero:

${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}'_{i}=0}$

${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}=0}$

Así que demostramos que:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}'_{i}\times m_{i}{\vec {v}}'_{i}+M{\vec {r}}_{CoM}\times {\vec {v}}_{CoM}}$

donde M es la masa total del sistema.

Segunda parte del teorema de König

La segunda parte expresa la energía cinética de un sistema de partículas en términos de las velocidades de las partículas individuales y del centro de masa .

En concreto, establece que la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de la energía cinética asociada al movimiento del centro de masas y la energía cinética asociada al movimiento de las partículas respecto al centro de masas . ^[2]

${\displaystyle K=K'+K_{\text{CoM}}}$

Prueba

La energía cinética total del sistema es:

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}}$

Al igual que hicimos en la primera parte, sustituimos la velocidad:

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}|{\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}}|^{2}}$

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})\cdot ({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}+{\bar {v}}_{\text{CoM}}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}}$

Sabemos que si definimos: ${\displaystyle {\bar {v}}_{CoM}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}=0,}$

${\displaystyle K'=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}}$

${\displaystyle K_{\text{CoM}}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CoM}}^{2}}$

Nos quedamos con:

${\displaystyle K=K'+K_{\text{CoM}}}$

Para un cuerpo rígido

El teorema también se puede aplicar a cuerpos rígidos , afirmando que la energía cinética K de un cuerpo rígido, vista por un observador fijo en un marco de referencia inercial N, se puede escribir como:

${\displaystyle ^{N}K={\frac {1}{2}}m\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }+{\frac {1}{2}}{^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }\cdot ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}}$

donde es la masa del cuerpo rígido; es la velocidad del centro de masa del cuerpo rígido, vista por un observador fijo en un marco inercial N; es el momento angular del cuerpo rígido alrededor del centro de masa, también tomado en el marco inercial N; y es la velocidad angular del cuerpo rígido R con respecto al marco inercial N. ^[3] ${\displaystyle {m}}$ ${\displaystyle {^{N}\mathbf {\bar {v}} }}$ ${\displaystyle {^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }}$ ${\displaystyle ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}}$

Referencias

• Hanno Essén: Velocidad angular media (1992), Departamento de Mecánica, Instituto Real de Tecnología, S-100 44 Estocolmo, Suecia.
• Samuel König (Sam. Koenigio): De universali principio æquilibrii & motus, in vi viva reperto, deque nexu inter vim vivam & actionem, utriusque minimo, dissertatio , Nova acta eruditorum (1751) 125-135, 162-176 (Archivado).
• Paul A. Tipler y Gene Mosca (2003), Física para científicos e ingenieros (artículo): Volumen 1A: Mecánica (Física para científicos e ingenieros), WH Freeman Ed., ISBN  0-7167-0900-7

Obras citadas

1. Essén, Hanno (1993). "Velocidad angular media". Revista Europea de Física . 14 (5): 201–205. arXiv : physics/0401146 . Código Bibliográfico :1993EJPh...14..201E. doi :10.1088/0143-0807/14/5/002. S2CID  250879804.
2. Essén, Hanno (1993). "Velocidad angular media". Revista Europea de Física . 14 (5): 201–205. arXiv : physics/0401146 . Código Bibliográfico :1993EJPh...14..201E. doi :10.1088/0143-0807/14/5/002. S2CID  250879804.
3. Rao, Anil V. Dinámica de partículas y cuerpos rígidos: un enfoque sistemático . Cambridge University Press. pág. 421.