Teorema de Hobby-Rice

Problema de rotura del collar

En matemáticas , y en particular en el problema de la división del collar , el teorema de Hobby-Rice es un resultado que resulta útil para establecer la existencia de ciertas soluciones. Fue demostrado en 1965 por Charles R. Hobby y John R. Rice ; ^[1] una demostración simplificada fue dada en 1976 por A. Pinkus. ^[2]

El teorema

Defina una partición del intervalo [0,1] como una división del intervalo en subintervalos mediante una secuencia creciente de números: ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 0=z_{0}<\underbrace {z_{1}<\dotsb <z_{n}} <z_{n+1}=1}$

Defina una partición con signo como una partición en la que cada subintervalo tiene un signo asociado : ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

${\displaystyle \delta _{1},\dotsc ,\delta _{k+1}\in \left\{+1,-1\right\}}$

El teorema de Hobby-Rice dice que para cada n funciones continuamente integrables:

${\displaystyle g_{1},\dotsc ,g_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} }$

Existe una partición con signo de [0,1] tal que:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}\delta _{i}\!\int _{z_{i-1}}^{z_{i}}g_{j}(z)\,dz=0{\text{ for }}1\leq j\leq n.}$

(en otras palabras: para cada una de las n funciones, su integral sobre los subintervalos positivos es igual a su integral sobre los subintervalos negativos).

Solicitud de división equitativa

El teorema fue utilizado por Noga Alon en el contexto de la división de collares ^[3] en 1987.

Supongamos que el intervalo [0,1] es una tarta . Hay n socios y cada una de las n funciones es una función de densidad de valor de un socio. Queremos dividir la tarta en dos partes de modo que todos los socios estén de acuerdo en que las partes tienen el mismo valor. Este desafío de división justa a veces se conoce como el problema de la reducción a la mitad por consenso . ^[4] El teorema de Hobby-Rice implica que esto se puede hacer con n cortes.

Referencias

1. Hobby, CR ; Rice, JR (1965). "Un problema de momento en la aproximación L ₁ ". Actas de la American Mathematical Society . 16 (4). American Mathematical Society: 665–670. doi :10.2307/2033900. JSTOR  2033900.
2. Pinkus, Allan (1976). "Una prueba simple del teorema de Hobby-Rice". Actas de la American Mathematical Society . 60 (1). American Mathematical Society: 82–84. doi : 10.2307/2041117 . JSTOR  2041117.
3. Alon, Noga (1987). "Dividiendo collares". Avances en Matemáticas . 63 (3): 247–253. doi : 10.1016/0001-8708(87)90055-7 .
4. FW Simmons y FE Su (2003). "Reducción a la mitad del consenso mediante los teoremas de Borsuk-Ulam y Tucker" (PDF) . Ciencias Sociales Matemáticas . 45 : 15–25. doi :10.1016/S0165-4896(02)00087-2. hdl :10419/94656.