Álgebra de Fourier

Álgebras que surgen en el análisis armónico

Las álgebras de Fourier y otras relacionadas aparecen de forma natural en el análisis armónico de grupos localmente compactos y desempeñan un papel importante en las teorías de dualidad de estos grupos. El álgebra de Fourier-Stieltjes y la transformada de Fourier-Stieltjes en el álgebra de Fourier de un grupo localmente compacto fueron introducidas por Pierre Eymard en 1964.

Definición

Informal

Sea G un grupo abeliano localmente compacto, y Ĝ el grupo dual de G. Entonces es el espacio de todas las funciones en Ĝ que son integrables con respecto a la medida de Haar en Ĝ, y tiene una estructura de álgebra de Banach donde el producto de dos funciones es la convolución . Definimos como el conjunto de transformadas de Fourier de funciones en , y es un subálgebra cerrada de , el espacio de funciones complejas continuas acotadas en G con multiplicación puntual. Llamamos álgebra de Fourier de G. ${\displaystyle L_{1}({\hat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle A(G)}$ ${\displaystyle L_{1}({\hat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle CB(G)}$ ${\displaystyle A(G)}$

De manera similar, escribimos para el álgebra de medidas en Ĝ, es decir, el espacio de todas las medidas regulares finitas de Borel en Ĝ. Definimos como el conjunto de transformadas de Fourier-Stieltjes de medidas en . Es un subálgebra cerrada de , el espacio de funciones complejas continuas acotadas en G con multiplicación puntual. Llamamos álgebra de Fourier-Stieltjes de G. De manera equivalente, se puede definir como el espacio lineal del conjunto de funciones definidas positivas continuas en G. ^[1] ${\displaystyle M({\hat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle B(G)}$ ${\displaystyle M({\hat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle CB(G)}$ ${\displaystyle B(G)}$ ${\displaystyle B(G)}$ ${\displaystyle P(G)}$

Dado que está naturalmente incluido en , y dado que la transformada de Fourier-Stieltjes de una función es simplemente la transformada de Fourier de esa función, tenemos que . De hecho, es un ideal cerrado en . ${\displaystyle L_{1}({\hat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle M({\hat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle L_{1}({\hat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle A(G)\subset B(G)}$ ${\displaystyle A(G)}$ ${\displaystyle B(G)}$

Formal

Sea un álgebra de Fourier–Stieltjes y un álgebra de Fourier tal que el grupo localmente compacto es abeliano . Sea el álgebra de medida de medidas finitas en y sea el álgebra de convolución de funciones integrables en , donde es el grupo de caracteres del grupo abeliano . ${\displaystyle B({\mathit {G}})}$ ${\displaystyle A({\mathit {G}})}$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$ ${\displaystyle M({\widehat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathit {G}}}}$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$

La transformada de Fourier-Stieltjes de una medida finita en es la función en definida por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathit {G}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}(x)=\int _{\widehat {G}}{\overline {X(x)}}\,d\mu (X),\quad x\in G}$

El espacio de estas funciones es un álgebra bajo multiplicación puntual que es isomorfa al álgebra de medida . Restringida a , vista como un subespacio de , la transformada de Fourier-Stieltjes es la transformada de Fourier en y su imagen es, por definición, el álgebra de Fourier . El teorema generalizado de Bochner establece que una función medible en es igual, casi en todas partes , a la transformada de Fourier-Stieltjes de una medida finita no negativa en si y solo si es definida positiva. Por lo tanto, se puede definir como el espacio lineal del conjunto de funciones definidas positivas continuas en . Esta definición sigue siendo válida cuando no es abeliana. ${\displaystyle B({\mathit {G}})}$ ${\displaystyle M({\widehat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle M({\widehat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})}$ ${\displaystyle A({\mathit {G}})}$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle B({\mathit {G}})}$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$

Teorema de Helson-Kahane-Katznelson-Rudin

Sea A(G) el álgebra de Fourier de un grupo compacto G. Basándose en el trabajo de Wiener , Lévy , Gelfand y Beurling , en 1959 Helson , Kahane , Katznelson y Rudin demostraron que, cuando G es compacto y abeliano, una función f definida en un subconjunto convexo cerrado del plano opera en A(G) si y solo si f es analítica real. ^[2] En 1969 Dunkl demostró que el resultado se cumple cuando G es compacto y contiene un subgrupo abeliano infinito.

Referencias

1. Renault, Jean (2001) [1994], "Álgebra de Fourier (2)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. H. Helson; J.-P. Kahane; Y. Katznelson; W. Rudin (1959). "Las funciones que operan sobre las transformadas de Fourier" (PDF) . Acta Mathematica . 102 (1–2): 135–157. doi : 10.1007/bf02559571 . S2CID  121739671.

• "Funciones que operan en el álgebra de Fourier de un grupo compacto" Charles F. Dunkl Proceedings of the American Mathematical Society , Vol. 21, No. 3. (junio de 1969), pp. 540–544. URL estable:[1]
• "Funciones que operan en el álgebra de Fourier de un grupo discreto" Leonede de Michele; Paolo M. Soardi, Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 45, n.º 3. (septiembre de 1974), págs. 389-392. URL estable:[2]
• "Cierres uniformes de las álgebras de Fourier-Stieltjes", Ching Chou, Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 77, n.º 1 (octubre de 1979), págs. 99-102. URL estable: [3]
• "Centralizadores del álgebra de Fourier de un grupo ameno", PF Renaud, Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 32, núm. 2. (abril de 1972), págs. 539-542. URL estable: [4]