Campo en álgebra
En matemáticas , el teorema de Golod-Shafarevich fue demostrado en 1964 por Evgeny Golod e Igor Shafarevich . Es un resultado del álgebra homológica no conmutativa que resuelve el problema de la torre de campos de clases , al demostrar que las torres de campos de clases pueden ser infinitas.
La desigualdad
Sea A = K ⟨ x 1 , ..., x n ⟩ el álgebra libre sobre un cuerpo K en n = d + 1 variables no conmutantes x i .
Sea J el ideal bilateral de A generado por elementos homogéneos f j de A de grado d j con
- 2 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ...
donde d j tiende a infinito. Sea r i el número de d j igual a i .
Sea B = A / J , un álgebra graduada . Sea b j = dim B j .
La desigualdad fundamental de Golod y Shafarevich establece que
Como consecuencia:
- B es de dimensión infinita si r i ≤ d 2 /4 para todo i
Aplicaciones
Este resultado tiene aplicaciones importantes en la teoría de grupos combinatorios :
- Si G es un p-grupo finito no trivial , entonces r > d 2 /4 donde d = dim H 1 ( G , Z / p Z ) y r = dim H 2 ( G , Z / p Z ) (los grupos de cohomología mod p de G ). En particular, si G es un p-grupo finito con un número mínimo de generadores d y tiene r relatores en una presentación dada, entonces r > d 2 /4.
- Para cada primo p , existe un grupo infinito G generado por tres elementos en el que cada elemento tiene orden de potencia de p . El grupo G proporciona un contraejemplo a la conjetura generalizada de Burnside : es un grupo de torsión infinito finitamente generado , aunque no existe un límite uniforme en el orden de sus elementos.
En la teoría de campos de clases , la torre de campos de clases de un cuerpo numérico K se crea iterando la construcción de campos de clases de Hilbert . El problema de la torre de campos de clases pregunta si esta torre es siempre finita; Hasse (1926) atribuyó esta pregunta a Furtwangler, aunque Furtwangler dijo que la había escuchado de Schreier. Otra consecuencia del teorema de Golod-Shafarevich es que tales torres pueden ser infinitas (en otras palabras, no siempre terminan en un cuerpo igual a su cuerpo de clase de Hilbert ). Específicamente,
- Sea K un cuerpo cuadrático imaginario cuyo discriminante tiene al menos 6 factores primos. Entonces la 2-extensión no ramificada máxima de K tiene grado infinito.
De manera más general, un campo numérico con suficientes factores primos en el discriminante tiene una torre de campo de clase infinita.
Referencias
- Orod, ES ; Shafarevich, IR (1964), "En la torre del campo de clases", Izv. Akád. Nauk SSSR , 28 : 261–272(en ruso ) MR 0161852
- Hasse, Helmut (1926), "Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 35 , Göttingen: Teubner
- Golod, ES (1964), "Sobre álgebras nulas y grupos p finitamente aproximables", Izv. Akád. Nauk SSSR , 28 : 273–276(en ruso ) MR 0161878
- Herstein, IN (1968). Anillos no conmutativos . Monografías matemáticas de Carus. MAA. ISBN 0-88385-039-7.Véase el capítulo 8.
- Johnson, DL (1980). "Temas de la teoría de las presentaciones grupales" (1.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-23108-6 . Véase el capítulo VI.
- Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (segunda edición de la primera edición). Springer-Verlag . pág. 180. ISBN. 3-540-63003-1.Zbl 0819.11044 .
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- Roquette, Peter (1986) [1967]. "Sobre las torres de campos de clase". En Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.). Teoría algebraica de números, Actas de la conferencia instructiva celebrada en la Universidad de Sussex, Brighton, del 1 al 17 de septiembre de 1965 (Reimpresión de la edición original de 1967). Londres: Academic Press . págs. 231–249. ISBN 0-12-163251-2.
- Serre, J.-P. (2002), "Cohomología de Galois", Springer-Verlag . ISBN 3-540-42192-0 . Véase el Apéndice 2. (Traducción de Cohomologie Galoisienne , Lecture Notes in Mathematics 5 , 1973.)
