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Teorema de Golod-Shafarevich

En matemáticas , el teorema de Golod-Shafarevich fue demostrado en 1964 por Evgeny Golod e Igor Shafarevich . Es un resultado del álgebra homológica no conmutativa que resuelve el problema de la torre de campos de clases , al demostrar que las torres de campos de clases pueden ser infinitas.

La desigualdad

Sea A = Kx 1 , ..., x n ⟩ el álgebra libre sobre un cuerpo K en n = d  + 1 variables no conmutantes x i .

Sea J el ideal bilateral de A generado por elementos homogéneos f j de A de grado d j con

2 d1 d2 ≤ ...

donde d j tiende a infinito. Sea r i el número de d j igual a i .

Sea B = A / J , un álgebra graduada . Sea b j = dim B j .

La desigualdad fundamental de Golod y Shafarevich establece que

Como consecuencia:

Aplicaciones

Este resultado tiene aplicaciones importantes en la teoría de grupos combinatorios :

En la teoría de campos de clases , la torre de campos de clases de un cuerpo numérico K se crea iterando la construcción de campos de clases de Hilbert . El problema de la torre de campos de clases pregunta si esta torre es siempre finita; Hasse (1926) atribuyó esta pregunta a Furtwangler, aunque Furtwangler dijo que la había escuchado de Schreier. Otra consecuencia del teorema de Golod-Shafarevich es que tales torres pueden ser infinitas (en otras palabras, no siempre terminan en un cuerpo igual a su cuerpo de clase de Hilbert ). Específicamente,

De manera más general, un campo numérico con suficientes factores primos en el discriminante tiene una torre de campo de clase infinita.

Referencias