Teorema de Fubini sobre la diferenciación

En matemáticas, el teorema de Fubini sobre la diferenciación , llamado así por Guido Fubini , es un resultado de un análisis real sobre la diferenciación de series de funciones monótonas . Puede demostrarse utilizando el lema de Fatou y las propiedades de los conjuntos nulos . ^[1]

Declaración

Supongamos que es un intervalo y que para cada número natural k , es una función creciente . Si, ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{k}:I\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle s(x):=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$

existe para todos , entonces para casi todos las derivadas existen y están relacionadas como: ^[1] ${\displaystyle x\in I,}$ ${\displaystyle x\in I,}$

${\displaystyle s'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}'(x).}$

En general, si no suponemos que f _k aumenta para cada k , para llegar a la misma conclusión necesitamos una condición más estricta como la convergencia uniforme de en  I para cada n. ^[2] ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f_{k}'(x)}$

Referencias

1. Jones, Frank (2001), Integración de Lebesgue en el espacio euclidiano , editores Jones y Bartlett, págs. 527–529.
2. Rudin, Walter (1976), Principios del análisis matemático , McGraw-Hill, pág. 152.