Teorema de Dunford-Schwartz

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , el teorema de Dunford-Schwartz , llamado así por Nelson Dunford y Jacob T. Schwartz , establece que los promedios de potencias de ciertos operadores acotados por normas en L 1 convergen en un sentido adecuado. ^[1]

Declaración

${\displaystyle {\text{Let }}T{\text{ be a linear operator from }}L^{1}{\text{ to }}L^{1}{\text{ with }}\|T\|_{1}\leq 1{\text{ and }}\|T\|_{\infty }\leq 1{\text{. Then}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}T^{k}f}$

${\displaystyle {\text{exists almost everywhere for all }}f\in L^{1}{\text{.}}}$

La afirmación ya no es verdadera cuando la condición de acotación se relaja a par . ^[2] ${\displaystyle \|T\|_{\infty }\leq 1+\varepsilon }$

Notas

1. Dunford, Nelson; Schwartz, JT (1956), "Convergencia casi en todas partes de los promedios de los operadores", Journal of Rational Mechanics and Analysis , 5 : 129–178, MR  0077090.
2. Friedman, N. (1966), "Sobre el teorema de Dunford-Schwartz", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete , 5 (3): 226–231, doi : 10.1007/BF00533059 , MR  0220900, S2CID  122257150.