Teorema de Denjoy-Carleman-Ahlfors

El teorema de Denjoy-Carleman-Ahlfors establece que el número de valores asintóticos alcanzados por una función entera no constante de orden ρ en curvas que se extienden hacia el valor absoluto infinito es menor o igual a 2ρ. Fue conjeturado por primera vez por Arnaud Denjoy en 1907. ^[1] Torsten Carleman demostró que el número de valores asintóticos era menor o igual a (5/2)ρ en 1921. ^[2] En 1929 Lars Ahlfors confirmó la conjetura de Denjoy de 2ρ. ^[3] Finalmente, en 1933, Carleman publicó una prueba muy breve. ^[4]

El uso del término "valor asintótico" no significa que la relación entre ese valor y el valor de la función se acerque a 1 (como en el análisis asintótico ) a medida que uno se mueve a lo largo de una determinada curva, sino que el valor de la función se aproxima al valor asintótico a lo largo de la curva. Por ejemplo, a medida que uno se mueve a lo largo del eje real hacia el infinito negativo, la función se aproxima a cero, pero el cociente no llega a 1. ${\displaystyle \exp(z)}$ ${\displaystyle 0/\exp(z)}$

Ejemplos

La función es de orden 1 y tiene un solo valor asintótico, es decir, 0. Lo mismo ocurre con la función, pero la asíntota se alcanza en dos direcciones opuestas. ${\displaystyle \exp(z)}$ ${\displaystyle \sin(z)/z,}$

Un caso en el que el número de valores asintóticos es igual a 2ρ es la integral del seno , una función de orden 1 que tiende a −π/2 a lo largo del eje real hacia el infinito negativo, y a +π/2 en la dirección opuesta. ${\displaystyle {\text{Si}}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,d\zeta }$

La integral de la función es un ejemplo de una función de orden 2 con cuatro valores asintóticos (si b no es cero), al que se aproxima a medida que uno se aleja de cero a lo largo de los ejes real e imaginario. ${\displaystyle a\sin(z^{2})/z+b\sin(z^{2})/z^{2}}$

De manera más general, siendo ρ cualquier número entero positivo, es de orden ρ y tiene 2ρ valores asintóticos. ${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin(\zeta ^{\rho })}{\zeta ^{\rho }}}d\zeta ,}$

Está claro que el teorema se aplica a los polinomios sólo si no son constantes. Un polinomio constante tiene un valor asintótico, pero es de orden 0.

Referencias

1. Arnaud Denjoy (8 de julio de 1907). "Sobre las funciones enteras de género finito". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 145 : 106–8.
2. T. Carleman (1921). "Sur les fonctions inverses des fonctions entières d'ordre fini". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 15 (10): 7.
3. L. Ahlfors (1929). "Über die asymptotischen Werte der ganzen Funktionen endlicher Ordnung". Annales Academiae Scientiarum Fennicae . 32 (6): 15.
4. T. Carleman (3 de abril de 1933). "Sur una inégalité différentielle dans la théorie des fonctions analytiques". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 196 : 995–7.