Teorema de Chasles (cinemática)

Todo movimiento rígido es un desplazamiento de tornillo.

Un eje helicoidal . El teorema de Mozzi-Chasles dice que todo movimiento euclidiano es un desplazamiento helicoidal a lo largo de algún eje helicoidal.

En cinemática , el teorema de Chasles , o teorema de Mozzi-Chasles , dice que el desplazamiento más general de un cuerpo rígido puede producirse por una traslación a lo largo de una línea (llamada su eje de tornillo o eje de Mozzi ) seguida (o precedida) por una rotación alrededor de un eje paralelo a esa línea. ^{[1] [2] [3]} Tal composición de traslación y rotación se denomina desplazamiento de tornillo .

Historia

La prueba de que un desplazamiento espacial puede descomponerse en una rotación y deslizarse alrededor y a lo largo de una línea se atribuye al astrónomo y matemático Giulio Mozzi (1763), de hecho, el eje de tornillo se llama tradicionalmente asse di Mozzi en Italia. Sin embargo, la mayoría de los libros de texto hacen referencia a un trabajo similar posterior de Michel Chasles que data de 1830. ^[4] Varios otros contemporáneos de M. Chasles obtuvieron los mismos resultados o resultados similares en esa época, incluidos G. Giorgini, Cauchy, Poinsot, Poisson y Rodrigues. Aquí se puede encontrar un relato de la prueba de 1763 de Giulio Mozzi y parte de su historia. ^{[5] [6]}

Prueba

Mozzi considera un cuerpo rígido que experimenta primero una rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas y luego una traslación de desplazamiento D en una dirección arbitraria. Cualquier movimiento rígido puede lograrse de esta manera debido a un teorema de Euler sobre la existencia de un eje de rotación. El desplazamiento D del centro de masas puede descomponerse en componentes paralelos y perpendiculares al eje. El componente perpendicular (y paralelo) actúa sobre todos los puntos del cuerpo rígido, pero Mozzi demuestra que para algunos puntos la rotación anterior actuó exactamente con un desplazamiento opuesto, por lo que esos puntos se trasladan paralelos al eje de rotación. Estos puntos se encuentran en el eje de Mozzi a través del cual se puede lograr el movimiento rígido mediante un movimiento de tornillo.

Otra prueba elemental del teorema de Mozzi-Chasles fue dada por ET Whittaker en 1904. ^[7] Supongamos que A se va a transformar en B . Whittaker sugiere que se seleccione la línea AK paralela al eje de la rotación dada, con K el pie de una perpendicular desde B . El desplazamiento del tornillo apropiado es alrededor de un eje paralelo a AK tal que K se mueve a B . El método corresponde a la isometría del plano euclidiano donde una composición de rotación y traslación puede reemplazarse por una rotación alrededor de un centro apropiado . En términos de Whittaker, "Una rotación alrededor de cualquier eje es equivalente a una rotación a través del mismo ángulo alrededor de cualquier eje paralelo a él, junto con una traslación simple en una dirección perpendicular al eje".

Cálculo

El cálculo de la traslación y rotación conmutativas a partir de un movimiento de tornillo se puede realizar utilizando 3DPGA ( ), el álgebra geométrica del espacio euclidiano 3D. ^[8] Tiene tres vectores base euclidianos que satisfacen representar planos ortogonales a través del origen, y un vector base Grassmaniano que satisface representar el plano en el infinito. Cualquier plano a una distancia del origen se puede formar como una combinación lineal que se normaliza de tal manera que . Debido a que las reflexiones se pueden representar por el plano en el que ocurre la reflexión, el producto de dos planos y es la birreflexión . El resultado es una rotación alrededor de su línea de intersección , que también podría estar en el plano en el infinito cuando las dos reflexiones son paralelas, en cuyo caso la birreflexión es una traslación. ${\displaystyle \mathbb {R} _{3,0,1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}^{2}=0}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{3}a^{i}\mathbf {e} _{i}-\delta \mathbf {e} _{0}}$$ ${\displaystyle a^{2}=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\wedge b}$ ${\displaystyle ab}$

Un movimiento de tornillo es el producto de cuatro reflexiones no colineales, y por lo tanto . Pero de acuerdo con el teorema de Mozzi-Chasles, un movimiento de tornillo se puede descomponer en una traslación conmutativa donde es el eje de traslación que satisface , y una rotación donde es el eje de rotación que satisface . Las dos líneas bivectoriales y son ortogonales y conmutativas. Para encontrar y a partir de , simplemente escribimos y consideramos el resultado grado por grado: Debido a que la parte cuadrivectorial y , se encuentra directamente como ^[9] y por lo tanto Por lo tanto, para un movimiento de tornillo dado, la traslación y la rotación conmutativas se pueden encontrar utilizando las dos fórmulas anteriores, después de lo cual se encuentra que las líneas y son proporcionales a y respectivamente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=abcd}$ $${\displaystyle T=e^{\alpha B_{1}}=1+\alpha B_{1}}$$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$ $${\displaystyle R=e^{\beta B_{2}}=\cos(\beta )+B_{2}\sin(\beta )}$$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}^{2}=-1}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=TR\\&=e^{\alpha B_{1}}e^{\beta B_{2}}\\&=\underbrace {\cos \beta } _{\text{scalar}}+\underbrace {\sin \beta B_{2}+\alpha \cos \beta B_{1}} _{\text{bivector}}+\underbrace {\alpha \sin \beta B_{1}B_{2}} _{\text{quadvector}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \langle S\rangle _{4}=\langle T\rangle _{2}\langle R\rangle _{2}}$ ${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T=1+{\frac {\langle S\rangle _{4}}{\langle S\rangle _{2}}}}$$ $${\displaystyle R=ST^{-1}=T^{-1}S={\frac {S}{T}}}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle \langle T\rangle _{2}}$ ${\displaystyle \langle R\rangle _{2}}$

Otras dimensiones y campos

El teorema de Cartan-Dieudonné expresa una idea similar en dimensiones distintas de tres.

Referencias

1. Kumar, V. «MEAM 520 notes: The theorems of Euler and Chasles» (PDF) . Universidad de Pensilvania. Archivado desde el original (PDF) el 19 de junio de 2018. Consultado el 6 de agosto de 2014 .
2. Heard, William B. (2006). Mecánica de cuerpos rígidos . Wiley. pág. 42. ISBN 3-527-40620-4.
3. Joseph, Toby (2020). "Una prueba alternativa del teorema de rotación de Euler". The Mathematical Intelligencer . 42 (4): 44–49. arXiv : 2008.05378 . doi :10.1007/s00283-020-09991-z. ISSN  0343-6993. S2CID  221103695.
4. Chasles, M. (1830). "Note sur les propriétés générales du système de deux corps semblables entr'eux". Bulletin des Sciences Mathématiques, Astronomiques, Physiques et Chemiques (en francés). 14 : 321–326.
5. Mozzi, Giulio (1763). Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi (en italiano). Nápoles: Stamperia di Donato Campo.
6. Ceccarelli, Marco (2000). "Eje helicoidal definido por Giulio Mozzi en 1763 y primeros estudios sobre el movimiento helicoidal". Mecanismo y teoría de máquinas . 35 (6): 761–770. doi :10.1016/S0094-114X(99)00046-4.
7. ET Whittaker (1904) ET Whittaker . Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos . pág. 4.
8. Gunn, Charles (19 de diciembre de 2011). Geometría, cinemática y mecánica de cuerpos rígidos en geometrías de Cayley-Klein (tesis de maestría). Universidad Técnica de Berlín, Universidad Técnica de Berlín, Ulrich Pinkall. doi :10.14279/DEPOSITONCE-3058.
9. Roelfs, Martin; De Keninck, Steven. "Grupos de simetría graduada: planos y simples".

Lectura adicional

• Benjamin Peirce (1872) Un sistema de mecánica analítica, III. Movimientos combinados de rotación y traslación, especialmente § 32 y § 39, David van Nostrand & Company, enlace desde Internet Archive