Teorema de Bussgang

En matemáticas , el teorema de Bussgang es un teorema del análisis estocástico . El teorema establece que la correlación cruzada entre una señal gaussiana antes y después de haber pasado por una operación no lineal es igual a la autocorrelación de la señal hasta una constante. Fue publicado por primera vez por Julian J. Bussgang en 1952 mientras estaba en el Instituto de Tecnología de Massachusetts . ^[1]

Declaración

Sea un proceso aleatorio gaussiano estacionario de media cero y donde sea una distorsión de amplitud no lineal. ${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y(t)\right\}=g(X(t))}$ ${\displaystyle g(\cdot )}$

Si es la función de autocorrelación de , entonces la función de correlación cruzada de y es ${\displaystyle R_{X}(\tau )}$ ${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$ ${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y(t)\right\}}$

${\displaystyle R_{XY}(\tau )=CR_{X}(\tau ),}$

donde es una constante que depende sólo de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g(\cdot )}$

Se puede demostrar además que

${\displaystyle C={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }ug(u)e^{-{\frac {u^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du.}$

Derivación para cuantificación de un bit

Es una propiedad de la distribución normal bidimensional que la densidad conjunta de y depende sólo de su covarianza y viene dada explícitamente por la expresión ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}$

donde y son variables aleatorias gaussianas estándar con correlación . ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{y_{1}y_{2}}=\rho }$

Supongamos que , la correlación entre y es, ${\displaystyle r_{2}=Q(y_{2})}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }y_{1}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}\,dy_{1}dy_{2}}$.

Desde

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y_{1}e^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}y_{1}^{2}+{\frac {\rho y_{2}}{1-\rho ^{2}}}y_{1}}\,dy_{1}=\rho {\sqrt {2\pi (1-\rho ^{2})}}y_{2}e^{\frac {\rho ^{2}y_{2}^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$,

la correlación se puede simplificar como ${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}}$

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}={\frac {\rho }{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}}$.

Se ve que la integral anterior depende sólo de la característica de distorsión y es independiente de . ${\displaystyle Q()}$ ${\displaystyle \rho }$

Recordando eso , observamos que para una característica de distorsión dada , la relación es . ${\displaystyle \rho =\phi _{y_{1}y_{2}}}$ ${\displaystyle Q()}$ ${\displaystyle {\frac {\phi _{y_{1}r_{2}}}{\phi _{y_{1}y_{2}}}}}$ ${\displaystyle K_{Q}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}}$

Por lo tanto, la correlación se puede reescribir en la forma

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}=K_{Q}\phi _{y_{1}y_{2}}}$.

La ecuación anterior es la expresión matemática del "teorema de Bussgang" indicado.

Si , o se llama cuantificación de un bit, entonces . ${\displaystyle Q(x)={\text{sign}}(x)}$ ${\displaystyle K_{Q}={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }y_{2}e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$

^{[2] [3] [1] [4]}

Ley del arcoseno

Si las dos variables aleatorias están distorsionadas, es decir , la correlación de y es ${\displaystyle r_{1}=Q(y_{1}),r_{2}=Q(y_{2})}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }Q(y_{1})Q(y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}}$.

Cuando , la expresión se convierte en, ${\displaystyle Q(x)={\text{sign}}(x)}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]}$

dónde . ${\displaystyle \alpha ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$

notando que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]=1}$,

y , , ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}}$

podemos simplificar la expresión de como ${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-1}$

Además, conviene introducir la coordenada polar . Se encuentra así que ${\displaystyle y_{1}=R\cos \theta ,y_{2}=R\sin \theta }$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}-2R^{2}\rho \cos \theta \sin \theta \ }{2(1-\rho ^{2})}}}R\,dRd\theta -1={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}(1-\rho \sin 2\theta )}{2(1-\rho ^{2})}}}R\,dRd\theta -1}$.

La integración da

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {2{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{1-\rho \sin 2\theta }}-1=-{\frac {2}{\pi }}\arctan \left({\frac {\rho -\tan \theta }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\right){\Bigg |}_{0}^{\pi /2}-1={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )}$，

Esto se llama "ley del arcoseno", que fue encontrada por primera vez por JH Van Vleck en 1943 y republicada en 1966. ^{[2] [3]} La "ley del arcoseno" también se puede demostrar de una manera más sencilla aplicando el teorema de Price. ^{[4] [5]}

La función se puede aproximar como cuando es pequeña. ${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin x}$ ${\displaystyle f(x)\approx {\frac {2}{\pi }}x}$ ${\displaystyle x}$

Teorema del precio

Dadas dos variables aleatorias conjuntamente normales y con función de probabilidad conjunta ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle {\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}}$,

formamos la media

${\displaystyle I(\rho )=E(g(y_{1},y_{2}))=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}}$

de alguna función de . Si como , entonces ${\displaystyle g(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\rightarrow 0}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}=E\left({\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\right)}$.

Prueba. La función característica conjunta de las variables aleatorias y es por definición la integral. ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle \Phi (\omega _{1},\omega _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})e^{j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,dy_{1}dy_{2}=\exp \left\{-{\frac {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+2\rho \omega _{1}\omega _{2}}{2}}\right\}}$.

De la fórmula de inversión bidimensional de la transformada de Fourier, se deduce que

${\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\omega _{1},\omega _{2})e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-{\frac {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+2\rho \omega _{1}\omega _{2}}{2}}\right\}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}}$.

Por lo tanto, reemplazando la expresión de en y derivando con respecto a , obtenemos ${\displaystyle p(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle I(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}\Phi (\omega _{1},\omega _{2})}{\partial \rho ^{n}}}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {(-1)^{n}}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\omega _{1}^{n}\omega _{2}^{n}\Phi (\omega _{1},\omega _{2})e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\omega _{1},\omega _{2}){\frac {\partial ^{2n}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2}){\frac {\partial ^{2n}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,dy_{1}dy_{2}\\\end{aligned}}}$

Después de repetidas integraciones por partes y usando la condición en , obtenemos el teorema de Price. ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2}){\frac {\partial ^{2n}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}\partial y_{2}}}{\frac {\partial ^{2n-2}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n-1}\partial y_{2}^{n-1}}}\,dy_{1}dy_{2}\\&=\cdots \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}\end{aligned}}}$

^{[4] [5]}

Prueba de la ley del arcoseno mediante el teorema de Price

Si , entonces ¿dónde está la función delta de Dirac? ${\displaystyle g(y_{1},y_{2})={\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}\partial y_{2}}}=4\delta (y_{1})\delta (y_{2})}$ ${\displaystyle \delta ()}$

Sustituyendo el teorema de Price, obtenemos,

${\displaystyle {\frac {\partial E({\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2}))}{\partial \rho }}={\frac {\partial I(\rho )}{\partial \rho }}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }4\delta (y_{1})\delta (y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}}$.

Cuando , . De este modo ${\displaystyle \rho =0}$ ${\displaystyle I(\rho )=0}$

${\displaystyle E\left({\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2})\right)=I(\rho )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\,d\rho ={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )}$,

que es el conocido resultado de Van Vleck de la "ley del arcoseno".

^{[2] [3]}

Solicitud

Este teorema implica que se puede diseñar un correlacionador simplificado. ^{[ se necesita aclaración ]} En lugar de tener que multiplicar dos señales, el problema de correlación cruzada se reduce a la sincronización ^{[ se necesita aclaración ]} de una señal con otra. ^{[ cita necesaria ]}

Referencias

1. JJ Bussgang, "Función de correlación cruzada de señales gaussianas con amplitud distorsionada", Res. Laboratorio. Elec., Mas. Inst. Technol., Cambridge MA, Tecnología. Rep. 216, marzo de 1952.
2. Vleck, JH Van. "El espectro del ruido recortado". Informe del laboratorio de investigación de radio de la Universidad de Harvard (51).
3. Vleck, JH Van; Middleton, D. (enero de 1966). "El espectro del ruido recortado". Actas del IEEE . 54 (1): 2–19. doi :10.1109/PROC.1966.4567. ISSN  1558-2256.
4. Price, R. (junio de 1958). "Un teorema útil para dispositivos no lineales con entradas gaussianas". Transacciones IRE sobre teoría de la información . 4 (2): 69–72. doi :10.1109/TIT.1958.1057444. ISSN  2168-2712.
5. Papoulis, Atanasio (2002). Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos . McGraw-Hill. pag. 396.ISBN​ 0-07-366011-6.

Otras lecturas

• EW Bai; V. Cerone; D. Regruto (2007) "Entradas separables para la identificación de sistemas no lineales orientados a bloques", Actas de la Conferencia Estadounidense de Control de 2007 (Nueva York, 11 al 13 de julio de 2007) 1548-1553