Teorema de Borel-Carathéodory

En matemáticas , el teorema de Borel-Carathéodory en análisis complejo muestra que una función analítica puede estar acotada por su parte real . Es una aplicación del principio del módulo máximo . Recibe su nombre en honor a Émile Borel y Constantin Carathéodory .

Enunciado del teorema

Sea analítica una función sobre un disco cerrado de radio R centrado en el origen . Supongamos que r < R. Entonces, tenemos la siguiente desigualdad: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{r}\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|z|\leq R}\operatorname {Re} f(z)+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|.}$

Aquí, la norma del lado izquierdo denota el valor máximo de f en el disco cerrado:

${\displaystyle \|f\|_{r}=\max _{|z|\leq r}|f(z)|=\max _{|z|=r}|f(z)|}$

(donde la última igualdad se debe al principio del módulo máximo).

Prueba

Definir A por

${\displaystyle A=\sup _{|z|\leq R}\operatorname {Re} f(z).}$

Si f es constante c , la desigualdad se sigue de , por lo que podemos suponer que f no es constante. Primero, sea f (0) = 0. Como Re f es armónico, Re f (0) es igual al promedio de sus valores alrededor de cualquier círculo centrado en 0. Es decir, ${\displaystyle (R+r)|c|+2r\operatorname {Re} c\geq (R-r)|c|}$

${\displaystyle \operatorname {Re} f(0)=\int _{0}^{1}\operatorname {Re} f(R{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}s}){\,{\rm {d}}}s.}$

Como f es regular y no constante, tenemos que Re f también es no constante. Como Re f (0) = 0, debemos tener Re para algún z en el círculo , por lo que podemos tomar . Ahora f se mapea en el semiplano P a la izquierda de la línea x = A. A grandes rasgos, nuestro objetivo es mapear este semiplano en un disco, aplicar allí el lema de Schwarz y descifrar la desigualdad enunciada. ${\displaystyle f(z)>0}$ ${\displaystyle |z|=R}$ ${\displaystyle A>0}$

${\displaystyle w\mapsto w/A-1}$Envía P al semiplano izquierdo estándar. Envía el semiplano izquierdo al círculo de radio R centrado en el origen. La composición, que asigna 0 a 0, es la asignación deseada: ${\displaystyle w\mapsto R(w+1)/(w-1)}$

${\displaystyle w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}.}$

Del lema de Schwarz aplicado a la composición de esta función y f , tenemos

${\displaystyle {\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leq |z|.}$

Tome | z | ≤ r . Lo anterior se convierte en

${\displaystyle R|f(z)|\leq r|f(z)-2A|\leq r|f(z)|+2Ar}$

entonces

${\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {2Ar}{R-r}}}$,

como se afirma. En el caso general, podemos aplicar lo anterior a f ( z ) - f (0):

${\displaystyle {\begin{aligned}|f(z)|-|f(0)|&\leq |f(z)-f(0)|\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|w|\leq R}\operatorname {Re} (f(w)-f(0))\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\left(\sup _{|w|\leq R}\operatorname {Re} f(w)+|f(0)|\right),\end{aligned}}}$

que al reorganizarse da como resultado la reclamación.

Resultado alternativo y demostración

Comenzamos con el siguiente resultado: ^[1]

Teorema  —  Si es analítico en para algún , y en , entonces , ${\displaystyle f=u+iv}$ ${\displaystyle B(0,R+\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle u\leq M}$ ${\displaystyle \partial B(0,R)}$ ${\displaystyle \forall n\geq 1}$

$${\displaystyle |f^{(n)}(0)|\leq {\frac {2n!}{R^{n}}}(M-u(0))}$$

y de manera similar si . ${\displaystyle v\leq M}$

Prueba ^[2]

Basta probar el caso, ya que el caso se encuentra por . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle -if=v-iu}$

WLOG, resta una constante para obtener . ${\displaystyle f(0)=0}$

Realizar tres integrales de contorno utilizando la fórmula integral de Cauchy: ${\displaystyle \partial B(0,R)}$

$${\displaystyle f^{(n)}(0)/n!={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {f(z)}{z^{n+1}}}dz=\int _{0}^{1}{\frac {f(Re^{2\pi it})}{R^{n}e^{2\pi int}}}dt}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(Re^{2\pi it})e^{2\pi int}dt={\frac {1}{2\pi iR^{n}}}\oint f(z)z^{n-1}dz=0}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(Re^{2\pi it})dt={\frac {1}{2\pi i}}\oint f(z)z^{-1}dz=f(0)=0}$$

Elija un ángulo , de modo que . Luego, al combinar linealmente las tres integrales, obtenemos ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle e^{-i\theta }f^{(n)}(0)=|f^{(n)}(0)|}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(Re^{2\pi it})dt(1+\cos(2\pi nt+\theta ))={\frac {1}{2}}R^{n}|f^{(n)}(0)|/n!}$$

La parte imaginaria desaparece y la parte real cede.

$${\displaystyle \int _{0}^{1}u(Re^{2\pi it})dt(1+\cos(2\pi nt+\theta ))={\frac {1}{2}}R^{n}|f^{(n)}(0)|/n!}$$

La integral está acotada arriba por , por lo que tenemos el resultado. ${\displaystyle M\int _{0}^{1}dt(1+\cos(2\pi nt+\theta ))=M}$

Corolario 1  —  Con los mismos supuestos, para todos , ${\displaystyle r\in (0,R)}$

$${\displaystyle \max _{z\in \partial B(0,r)}|f(z)|\leq {\frac {2r}{R-r}}M+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|}$$

Prueba

Basta probar el caso de . ${\displaystyle f(0)=0}$

Por el resultado anterior, utilizando la expansión de Taylor,

$${\displaystyle |f(z)|\leq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}|f^{(n)}(0)|\cdot |z|^{n}\leq |f(0)|+\sum _{n=1}^{\infty }2M(r/R)^{n}={\frac {2r}{R-r}}M}$$

Corolario 2  (Titchmarsh, 5.51, mejorado)  :  con las mismas suposiciones, para todos los , y todos los números enteros ${\displaystyle r\in (0,R)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

$${\displaystyle \max _{z\in \partial B(0,r)}|f^{(n)}(z)|\leq {\frac {2n!}{(R-r)^{n+1}}}R(M-u(0))}$$

Prueba

Basta probar el caso de también. Y de manera similar a lo anterior, ${\displaystyle f(0)=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|f^{(n)}(z)|&\leq \sum _{k=n}^{\infty }{\frac {k\cdots (k-n+1)}{k!}}|f^{(k)}(0)|\cdot |z|^{k-n}\\&\leq {\frac {2(M-u(0))}{R^{n}}}\sum _{k=n}^{\infty }k\cdots (k-n+1)\left({\frac {r}{R}}\right)^{k-n}\\&={\frac {2n!}{(R-r)^{n+1}}}R(M-u(0))\end{aligned}}}$$

Aplicaciones

Borel-Carathéodory se utiliza a menudo para acotar el logaritmo de las derivadas, como en la prueba del teorema de factorización de Hadamard .

El siguiente ejemplo es un fortalecimiento del teorema de Liouville .

Teorema de Liouville, mejorado  :  Si es una función entera, tal que existe una secuencia con , entonces es un polinomio de grado como máximo . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r_{k}\nearrow \infty }$ ${\displaystyle \max _{z\in \partial B(0,r_{k})}\Re (f(z))=o(r_{k}^{n+1})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

Prueba

Por el lema de Borel-Caratheodory, para cualquier , ${\displaystyle 0<r<r_{k}}$

$${\displaystyle \max _{z\in \partial B(0,r)}|f^{(n+1)}(z)|\leq {\frac {4n!}{(r_{k}-r)^{n+2}}}r_{k}M}$$ dónde . ${\displaystyle M=\max _{z\in \partial B(0,r_{k})}\Re (f(z))=o(r_{k}^{n+1})}$

Dejando , y tomando el límite: ${\displaystyle r\leq {\frac {r_{k}}{2}}}$ ${\displaystyle k\nearrow \infty }$

$${\displaystyle \max _{z\in \partial B(0,r)}|f^{(n+1)}(z)|=o(1)\to 0}$$

Por lo tanto, según el teorema de Liouville, es una función constante y converge a cero, por lo que es cero. Por lo tanto, es un polinomio de grado como máximo . ${\displaystyle f^{(n+1)}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

Corolario  —  Si una función entera no tiene raíces y es de orden finito , entonces para algún polinomio de grado . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f(z)=e^{p(z)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle deg(p)\leq \rho }$

Prueba

Aplicar el teorema de Liouville mejorado a . ${\displaystyle g=\log(f)}$

Referencias

1. Ishita Goluguri, Toyesh Jayaswal, Andrew Lee. "El teorema de los números primos: una exposición de PRIMES" (PDF) .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Liu, Travor. "Lema de Borel-Caratheodory y su aplicación".

Fuentes

• Lang, Serge (1999). Análisis complejo (4ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1 . 
• Titchmarsh, EC (1938). La teoría de funciones. Oxford University Press.